Normalvektor einer Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Mo 17.08.2009 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | | Welchen Normalvektor hat die Gerade $\ x + y = 1 $ ? |
Hallo,
die Aufgabe schien mir eigentlich ziemlich einfach zu sein, doch meine Lösung ist offenbar falsch.
Da es sich um eine inhomogene lineare Gleichung handelt, probierte ich es mit folgendem Ansatz:
$\ ax + by = 1 $
$\ [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{a \\ b } [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 } [/mm] $ und $\ [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] $
$\ [mm] \vec{n}\vec{x} [/mm] = 1 $
Hier erfüllt doch eigentlich jeder Vektor $\ [mm] \vec{x} [/mm] $ die Gleichung, der in der Form $\ [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ -(n-1) } [/mm] $ mit $ n [mm] \in \IN [/mm] $ vorliegt, oder nicht?
Sei $\ n = 3 $ dann wäre $\ [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ -2 } [/mm] $ und würde mit
$\ [mm] \vec{n}\vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 }*\vektor{3 \\ -2 } [/mm] =1 $ die Gleichung offensichtlich erfüllen.
Die Lösung lautet allerdings:
Normalenvektor $\ [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2 } [/mm] $
Was mach ich falsch?
Grüße,
ChopSuey
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 19:29 Mo 17.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo ChopSuey!
Damit es sich auch wirklich um einen Normalenvektor [mm] $\vec{n} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{x\\y}$ [/mm] zur Geraden handelt (der also senkrecht auf den Richtungsvektor [mm] $\vec{r} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1\\1}$ [/mm] steht), muss doch gelten:
[mm] $$\vec{n}*\vec{r} [/mm] \ = \ [mm] \red{0}$$
[/mm]
[mm] $$\vektor{x\\y}*\vektor{1\\1} [/mm] \ = \ [mm] \red{0}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Mo 17.08.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Loddar,
> Damit es sich auch wirklich um einen Normalenvektor [mm]\vec{n} \ = \ \vektor{x\\y}[/mm]
> zur Geraden handelt (der also senkrecht auf den
> Richtungsvektor [mm]\vec{r} \ = \ \vektor{1\\1}[/mm] steht), muss
> doch gelten:
> [mm]\vec{n}*\vec{r} \ = \ \red{0}[/mm]
Ja, richtig. Doch was geschieht mit der 1?
> [mm]\vektor{x\\y}*\vektor{1\\1} \ = \ \red{0}[/mm]
Die Gleichung hat ja lediglich die Lösungen $\ [mm] \vec{n_1} [/mm] = [mm] \vektor{1\\-1}$ [/mm] und $\ [mm] \vec{n_2} [/mm] = [mm] \vektor{-1\\1}$
[/mm]
Doch das war ja nicht die ursprüngliche Gleichung und auch das Ergebnis $\ [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{2\\2} [/mm] $ taucht nicht auf.
Das Skalarprodukt und der Normalenvektor bringen mich hier ein wenig durcheinander im Moment
Danke für die schnelle Antwort.
>
> Gruß
> Loddar
>
Grüße
ChopSuey
|
|
|
| |
|
Hallo ChopSuey,
> Hallo Loddar,
>
>
> > Damit es sich auch wirklich um einen Normalenvektor [mm]\vec{n} \ = \ \vektor{x\\y}[/mm]
> > zur Geraden handelt (der also senkrecht auf den
> > Richtungsvektor [mm]\vec{r} \ = \ \vektor{1\\1}[/mm] steht), muss
> > doch gelten:
> > [mm]\vec{n}*\vec{r} \ = \ \red{0}[/mm]
>
> Ja, richtig. Doch was geschieht mit der 1?
>
> > [mm]\vektor{x\\y}*\vektor{1\\1} \ = \ \red{0}[/mm]
>
> Die Gleichung hat ja lediglich die Lösungen [mm]\ \vec{n_1} = \vektor{1\\-1}[/mm]
> und [mm]\ \vec{n_2} = \vektor{-1\\1}[/mm]
>
> Doch das war ja nicht die ursprüngliche Gleichung und auch
> das Ergebnis [mm]\ \vec{n} = \vektor{2\\2}[/mm] taucht nicht auf.
Natürlich ist der Normalenvektor der Geraden
[mm]x+y=1[/mm]
[mm]\overrightarrow{n}=\pmat{1 \\ 1}[/mm]
Multipliziersr Du diese Geradengleichung mit einem Faktor [mm]\lambda \not= 0[/mm],
dann steht erstmal da:
[mm]\lambda*x+\lambda*y=\lambda*1[/mm]
Daher ist ein Normalenvektor
[mm]\overrightarrow{n}=\pmat{\lambda \\ \lambda}=\lambda*\pmat{1 \\ 1}[/mm]
>
> Das Skalarprodukt und der Normalenvektor bringen mich hier
> ein wenig durcheinander im Moment
>
> Danke für die schnelle Antwort.
>
> >
> > Gruß
> > Loddar
> >
>
> Grüße
> ChopSuey
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 Mo 17.08.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo Loddar es ist doch [mm] \vec{r}=\vektor{1 \\ -1} [/mm] Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 20:56 Mo 17.08.2009 | | Autor: | MathePower |
Hallo Loddar,
> Hallo ChopSuey!
>
>
> Damit es sich auch wirklich um einen Normalenvektor [mm]\vec{n} \ = \ \vektor{x\\y}[/mm]
> zur Geraden handelt (der also senkrecht auf den
> Richtungsvektor [mm]\vec{r} \ = \ \vektor{1\\1}[/mm] steht), muss
> doch gelten:
> [mm]\vec{n}*\vec{r} \ = \ \red{0}[/mm]
> [mm]\vektor{x\\y}*\vektor{1\\1} \ = \ \red{0}[/mm]
Der Richtungsvektor ist hier [mm]\pmat{1 \\ -1}[/mm].
Dies folgt durch Auflösen der Gleichung [mm]x+y=1[/mm] nach y.
>
> Gruß
> Loddar
>
Gruß
MathePower
|
|
|
|
