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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Fr 23.01.2009 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Hallo! Es geht um folgende Aufgabe:
Die normalverteilten Zufallsvariablen
X1 ~ N(15,16) und X2 ~ N(5,9) sind unabhängig.
a) Wie groß sind P(X1<7,X2>5) und P(X1 + X2 [mm] \le25) [/mm] ?
b) Bestimmen Sie c1 mit P(X1>c1)=0,05 und c2 mit P(X1<c2)=0,05
c) Suchen Sie das passende c für P(|X2 - [mm] EX2|\lec)=0,90 [/mm] |
Ich bin mir bei verschiedenen Teilaufgaben nicht sicher, ob der Ansatz meiner Berechnung so stimmt.
zu a)
P(X1<7,X2>5)
[mm] \gdw P(X1<7)+1-P(X2\le5)
[/mm]
[mm] \gdw PHI(\bruch{7-\mu1}{\delta1})+1-PHI(\bruch{5-\mu2}{\delta2})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] PHI(2)+1-(PHI(0))
[mm] \gdw [/mm] 0,9772+(1-0,5)=1,4772
P(X1 + X2 [mm] \le [/mm] 25)
Ist die nachfolgende Umformung zur Standartnormalveteilung korrekt, so dass ich den Wert aus der Tabelle der Standartnomralveteilung ablesen kann?
[mm] \gdw [/mm] P(X1 + X2 [mm] \le [/mm] 25) | [mm] -\mu1 [/mm] |- [mm] \mu2 [/mm] |: [mm] \delta1 |:\delta2
[/mm]
[mm] \gdw P(\bruch{X1-X2-\mu1-u2}{\delta1*\delta2}=PHI(\bruch{25-\mu1-\mu2}{\delta1*\delta2})
[/mm]
[mm] \gdw PHI(\bruch{25-15-5}{4*3})
[/mm]
[mm] \gdw PHI(\bruch{15}{12})=0,8944 [/mm] (Wäre mein Ergebnis durch Ablesen aus der Tabelle)
b)P(X1>c1)
[mm] \gdw [/mm] 1-P(X1<c1)=0,05
[mm] \gdw [/mm] 1- [mm] PHI(\bruch{c1-\mu1}{\delta1}=0,05 [/mm] | [mm] PHI^{-1}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1 - [mm] \bruch{c1-\mu1}{\delta1}=U_{0,05} [/mm] |*delta1 | + [mm] \mu1
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1- c1 [mm] =-U_0,95*delta1 [/mm] + [mm] \mu1 |U_0,95 [/mm] aus Quantiltabelle
[mm] \gdw [/mm] 1 - c1=-1,6449*4+15
[mm] \gdw [/mm] 1 - c1=8,4201
[mm] \gdw [/mm] -c1=7,4201
[mm] \gdw [/mm] c1=-7,4201 (Das scheint aber falsch zu sein, oder?)
P(X1<c2)=0,05
[mm] \gdw PHI(\bruch{c2-\mu2}{\delta2})=0,05 |PHI^{-1}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{c2-\mu2}{\delta2}=-U_{1-0,05} [/mm] | * [mm] \delta |-\mu2
[/mm]
[mm] \gdw c2=-U_{1-0,05} [/mm] * [mm] \delta2 [/mm] + [mm] \mu2 [/mm] | wieder Quantiltabelle nachsehen
[mm] \gdw [/mm] c2=-1,6449*3+5
[mm] \gdw [/mm] c2=0,0653
Sind die Ergebnisse bis hierhin so korrekt? Wo hab ich Fehler gemacht? Gruß Ralf
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Hallo Ralph,
> Hallo! Es geht um folgende Aufgabe:
> Die normalverteilten Zufallsvariablen
> X1 ~ N(15,16) und X2 ~ N(5,9) sind unabhängig.
> a) Wie groß sind P(X1<7,X2>5) und P(X1 + X2 [mm]\le25)[/mm] ?
> b) Bestimmen Sie c1 mit P(X1>c1)=0,05 und c2 mit
> P(X1<c2)=0,05
> c) Suchen Sie das passende c für P(|X2 - [mm]EX2|\lec)=0,90[/mm]
> Ich bin mir bei verschiedenen Teilaufgaben nicht sicher,
> ob der Ansatz meiner Berechnung so stimmt.
>
> zu a)
> P(X1<7,X2>5)
> [mm]\gdw P(X1<7)+1-P(X2\le5)[/mm]
> [mm]\gdw PHI(\bruch{7-\mu1}{\delta1})+1-PHI(\bruch{5-\mu2}{\delta2})[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] PHI(2)+1-(PHI(0))
> [mm]\gdw[/mm] 0,9772+(1-0,5)=1,4772
1.) Statt Doppelpfeile solltest du hier Gleichheitszeichen verwenden.
2.) Du musst die Wahrscheinlichkeiten P(X1<7) und P(X2>5)
nicht addieren, sondern multiplizieren.
3.) Beachte, dass jedes Ergebnis P(X)=a mit a>1 falsch sein muss.
> P(X1 + X2 [mm]\le[/mm] 25)
> Ist die nachfolgende Umformung zur Standardnormalveteilung
> korrekt, so dass ich den Wert aus der Tabelle der
> Standardnormalveteilung ablesen kann?
> [mm]\gdw[/mm] P(X1 + X2 [mm]\le[/mm] 25) | [mm]-\mu1[/mm] |- [mm]\mu2[/mm] |: [mm]\delta1 |:\delta2[/mm]
bezüglich der Erwartungswerte [mm] \mu_i [/mm] in Ordnung,
bezüglich der Standardabweichungen [mm] \sigma_i [/mm] (sigma, nicht delta) nicht !
> [mm]\gdw P(\bruch{X1-X2-\mu1-u2}{\delta1*\delta2}=PHI(\bruch{25-\mu1-\mu2}{\delta1*\delta2})[/mm]
>
> [mm]\gdw PHI(\bruch{25-15-5}{4*3})[/mm]
> [mm]\gdw PHI(\bruch{15}{12})=0,8944[/mm]
> (Wäre mein Ergebnis durch Ablesen aus der Tabelle)
Ich glaube, dass man für diese Aufgabe den Satz braucht,
dass X1+X2 ebenfalls normalverteilt ist (wobei sich die
Erwartungswerte und die Varianzen addieren), falls X1 und
X2 normalverteilt und unabhängig sind.
> b)P(X1>c1)
> [mm]\gdw[/mm] 1-P(X1<c1)=0,05
> [mm]\gdw[/mm] 1- [mm]PHI(\bruch{c1-\mu1}{\delta1}=0,05[/mm] | [mm]PHI^{-1}[/mm]
ich denke, bei dieser Anwendung von [mm] PHI^{-1} [/mm] muss wohl
etwas schiefgehen ...
> [mm]\gdw[/mm] 1 - [mm]\bruch{c1-\mu1}{\delta1}=U_{0,05}[/mm] |*delta1 | +
> [mm]\mu1[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] 1- c1 [mm]=-U_0,95*delta1[/mm] + [mm]\mu1 |U_0,95[/mm] aus
> Quantiltabelle
> [mm]\gdw[/mm] 1 - c1=-1,6449*4+15
> [mm]\gdw[/mm] 1 - c1=8,4201
> [mm]\gdw[/mm] -c1=7,4201
> [mm]\gdw[/mm] c1=-7,4201 (Das scheint aber falsch zu sein, oder?)
Ich erhalte [mm] c_1\approx [/mm] 21.58
meine Überlegungen dazu:
1.) P(X1>c1)=0.05 ist kleiner als 0.5, also
muss c1 rechts von [mm] \mu_1=15 [/mm] liegen:
[mm] c1=\mu_1+k*\sigma_1=15+k*4
[/mm]
wobei [mm] \Phi(k)=1-0.05=0.95 [/mm] sein muss. Dann
hole ich den Wert von k aus der [mm] \Phi- [/mm] Tabelle ab:
$\ [mm] k=\Phi^{-1}(0.95)=1.645$
[/mm]
Damit wird $\ c1=15+1.645*4=21.58$
LG Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Fr 23.01.2009 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | | Danke für die schnelle Hilfe. Ich habe jetzt mal eine 1. Korrektur durchgeführt... |
Bei der Aufgabe a) 1) steht dann aufgrund der Multiplikation der W'keiten da:
0,9772 * (1-0,5)=0,4886
Bei a) 2) seh ich ein, dass sich aufgrund der Unabhängigkeit der Zufallsvariablen die beiden Varianzen ebenfalls addieren, so dass ich dann da stehen habe:
...
P(X1 + X2 [mm] \le [/mm] 25) |- [mm] \mu1 [/mm] |- [mm] \mu2 [/mm] |:( [mm] \sigma1 [/mm] + [mm] \sigma2 [/mm] )
= [mm] \phi (\bruch{ x1 + x2 - \mu1 -\mu2}{\sigma1 + \sigma2}) [/mm] | Zusammenfassen und Ablesen aus Tabelle
[mm] =\phi (\bruch{ 15}{7})
[/mm]
[mm] \approx \phi(2,143)=0,9236
[/mm]
Bei der Aufgabe b) 1) gibt es doch die Stelle an der es heißt:
[mm] \bruch{c1-\mu1}{\sigma1}=U_{0,05}
[/mm]
Es gibt doch die Regel: [mm] U_{p}= [/mm] - [mm] U_{1-p}
[/mm]
Diese Regel müsste ich doch hier anwenden, um an den Tabellenwert der Quantilltabelle zu kommen. Dann hab ich aber auf der Rechten Seite dieses Minus vor dem U stehen, was dann nachher zu meinem Fehler führt. Also sollte man die obige Regel hier nicht anwenden? Und muss stattdessen von Anfang an einen anderen Ansatz verfolgen (so wie bereits vorgeschlagen)?
Sind ansonsten die Ergebnisse der anderen Aufgaben nun korrekt? (auch das von mir vorher bereits ermittelte Ergebniss von der Aufgabe 2b)?
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@ Moderator: bitte löschen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Sa 24.01.2009 | | Autor: | RalU |
Hallo, ich nehme bezüglich dieser Aufgabenstellung gerne immer noch Hilfe an.
Vielen Dank,
Ralf
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> Danke für die schnelle Hilfe. Ich habe jetzt mal eine 1.
> Korrektur durchgeführt...
> Bei der Aufgabe a) 1) steht dann aufgrund der
> Multiplikation der W'keiten da:
> 0,9772 * (1-0,5)=0,4886 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
P(X1<7) ist winzig klein, nämlich 1-0.97725=0.02275
also bekommen wir P(X1<7 und [mm] X2>5)=0.02275*0.5\approx [/mm] 0.0114.
>
> Bei a) 2) seh ich ein, dass sich aufgrund der
> Unabhängigkeit der Zufallsvariablen die beiden Varianzen
> ebenfalls addieren, so dass ich dann da stehen habe:
Ja, die Varianzen werden addiert, aber nicht die sigmas !
> P(X1 + X2 [mm] \le [/mm] 25) .... [mm]=\phi (\bruch{ 15}{7}) \approx \phi(2,143)=0,9236[/mm]
>
> Bei der Aufgabe b) 1) gibt es doch die Stelle an der es
> heißt:
> [mm]\bruch{c1-\mu1}{\sigma1}=U_{0,05}[/mm]
Ich kenne diese Schreibweise mit U nicht.
> Es gibt doch die Regel: [mm]U_{p}=[/mm] - [mm]U_{1-p}[/mm]
> Diese Regel müsste ich doch hier anwenden, um an den
> Tabellenwert der Quantilltabelle zu kommen. Dann hab ich
> aber auf der Rechten Seite dieses Minus vor dem U stehen,
> was dann nachher zu meinem Fehler führt. Also sollte man
> die obige Regel hier nicht anwenden? Und muss stattdessen
> von Anfang an einen anderen Ansatz verfolgen (so wie
> bereits vorgeschlagen)?
$\ [mm] P(X1>c_1) [/mm] =0.05$
[mm] $\gdw P(X1\le c_1)= [/mm] 0.95$ | [mm] PHI^{-1}
[/mm]
[mm] $\bruch{c_1-\mu_1}{\sigma_1}=1.645
[/mm]
> Sind ansonsten die Ergebnisse der anderen Aufgaben nun
> korrekt? (auch das von mir vorher bereits ermittelte
> Ergebniss von der Aufgabe 2b)?
Die Lösung zu 2b war richtig. Was sonst wäre noch zu
kontrollieren ?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Sa 24.01.2009 | | Autor: | RalU |
Danke nochmals für die Hilfe. Den Rechenfehler zu a)1. hab ich eingesehen.
Bei a)2. frag ich mich jetzt: Sind bei Normalverteilungen die Varianzen nicht die Sigmas? Ich komme bei der a) 2. immer noch nicht weiter...
Bei b)1. seh ich ein, dass der Ansatz
P(X1>c1)=0,05
-> [mm] PX(X1\le [/mm] c1)=0,95 der einzig richtige ist...
Weiterhin bleibt jetz noch die Aufgabe c) übrig, bei der ich noch nicht weiß, wie ich am besten vorgehe.
Daher bitte ich erneut um Hilfe.
Vielen Dank für die Bemühungen,
Ralf
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> Bei a)2. frag ich mich jetzt: Sind bei Normalverteilungen
> die Varianzen nicht die Sigmas? Ich komme bei der a) 2.
> immer noch nicht weiter...
Die Varianz ist [mm] V=\sigma^2.
[/mm]
Im Beispiel heisst dies [mm] V_{X1+X2}=V_{X1}+V_{X2}=16+9=25
[/mm]
Also [mm] \sigma_{X1+X2}=\wurzel{25}=5
[/mm]
> Weiterhin bleibt jetz noch die Aufgabe c) übrig, bei der
> ich noch nicht weiß, wie ich am besten vorgehe.
Hallo Ralf,
| Aufgabe | | c) Suchen Sie das passende c für P(|X2 - [mm] E(X2)|\le [/mm] c)=0,90 |
Wegen der Symmetrie der Normalverteilung kann sich X2 zwischen
[mm] \mu_2-k*\sigma_2 [/mm] und [mm] \mu_2+k*\sigma_2 [/mm] bewegen, wobei [mm] \Phi(k)-\Phi(-k)=0.9 [/mm] . Dabei ist [mm] k*\sigma_2=c.
[/mm]
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:13 Sa 24.01.2009 | | Autor: | RalU |
also bei a) 2.) käme ja dann raus:
P(X1 + X2 [mm]\le[/mm] 25) |- [mm]\mu1[/mm] |- [mm]\mu2[/mm] |:( [mm]\wurzel{\sigma1^{2} + \sigma2^{2}}[/mm] )
= [mm] \phi (\bruch{ x1 + x2 - \mu1 -\mu2}\wurzel{\sigma1^{2} +\sigma2^{2}})
[/mm]
| Zusammenfassen und Ablesen aus Tabelle
[mm]=\phi (\bruch{ 15}{5})[/mm]
[mm]= \phi(3)=0,9987[/mm]
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> also bei a) 2.) käme ja dann raus:
> P(X1 + X2 [mm]\le[/mm] 25) |- [mm]\mu1[/mm] |- [mm]\mu2[/mm] |:( [mm]\wurzel{\sigma1^{2} + \sigma2^{2}}[/mm]
> )
> = [mm]\phi (\bruch{ x1 + x2 - \mu1 -\mu2}\wurzel{\sigma1^{2} +\sigma2^{2}})[/mm]
>
> | Zusammenfassen und Ablesen aus Tabelle
> [mm]=\phi (\bruch{ \red{15}}{5})[/mm]
Anstatt 15 sollte da 5 stehen !
> [mm]= \phi(3)=0,9987[/mm]
richtig: [mm]= \phi(1)=0,8413[/mm]
Noch ein Tipp nebenbei:
Ich denke, du könntest in deinen Formeln mit
viel weniger [mm]und [/mm]
auskommen. Übrigens übernimmt auch das
Dollarzeichen "$" die Rolle von [mm]und [/mm]
Gruß und schönen Abend !
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:43 Sa 24.01.2009 | | Autor: | RalU |
Ich habe nun folgende Lösung zu Teil c):
[mm] P(|X2-5|\lec)=0,90
[/mm]
[mm] P(5-c\le X2\le5+c)=0,90
[/mm]
[mm] P(X2\le5+c)-P(X2\le5-c)=0,90
[/mm]
[mm] \phi(\bruch{5+c-5}{4})-\phi(\bruch{5-c-5}{4})=0,90
[/mm]
[mm] \phi(\bruch{c}{4})-1-\phi(\bruch{c}{4})=0,90
[/mm]
[mm] 2*\phi(\bruch{c}{4})-1=0,90 |\phi^{-1}
[/mm]
[mm] 2*\bruch{c}{4}-1=U_{0,90}|*2 [/mm] |+1 [mm] |(U_{0,90} [/mm] aus Quantiltabelle ablesen=1,2816)
somit c=3,5632
Ist dies korrekt?
Gruß, Ralf
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 So 25.01.2009 | | Autor: | RalU |
Ok, da hab ich wohl den falschen Wert für [mm] \sigma2 [/mm] erwischt! Danke für die Hilfe!
Gruß, Ralf
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
