Normalverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Gingy |
Danke!
gelöst!
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Hallo!
> Aufgabe: Gegeben seinen zwei normalverteilte
> Zufallsvariablen X und Y. Es gelte Y=-1+4X. Die
> Verteilungsdichtefunktion der Zufallsvariablen X sei
> dargestellt in der Form
>
> fx(x)= [mm]Ke^-(x^2+2x+2)[/mm]
Bist Du sicher, dass Du die Aufgabenstellung richtig abgeschrieben hast? Man muss ja nun versuchen, die Form
[mm] $f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$
[/mm]
(Dichte der Normalverteilung) zu erkennen, um [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\sigma$ [/mm] zu identifizieren. Durch quadratische Ergänzung der gegebenen Funktion kommt man aber auf
[mm] $fx(x)=Kexp(-(x+1)^2-1).$
[/mm]
Du siehst, die -1 stört da ziemlich. Wäre diese 1 da nicht, könnte man [mm] $\mu=-1$ [/mm] und [mm] $\sigma^2=1/2$ [/mm] (damit [mm] $2\sigma^2=1$ [/mm] gilt) ablesen. So weiß ich aber auch nicht weiter.
> wobei K eine noch näher zu bestimmende Konstante
> bezeichnet.
>
> a) Geben Sie den Erwartungswert EX und die Varianz VarX der
> Zufallsvariablen X an.
>
> b) Bestimmen Sie K so, dass die Funktion fx(x) alle
> Eigenschaften einer Verteilungsdichtefunktion erfüllt.
>
> c) Bestimmen Sie den Erwartungswert EY und die Varianz VarY
> der Zufallsvariablen Y.
>
> d) Geben Sie die Verteilungsdichtefunktion fy(y) der
> Zufallsvariablen Y an. Skizzieren Sie die
> Verteilungsdichtefunktion fx(x) und fy(y) in Abhängigkeite
> der Variablen x bzw. y in einem Koordinatensystem, und
> tragen Sie markante Werte ein.
>
>
> .... meine Lösungsansätze sind vermutlich absolut
> falsch...E(x)= [mm]\mu Var(x)=sigma^2[/mm] also E(x)=-1 und Var(x)
> =16 ...
Das sind ja keine Ansätze, sondern schon Ergebnisse. Wie bist Du denn darauf gekommen?
> Was mache ich aber mit dieser Formel? Wie bestimmt ich K???
> die Eigenschaften sind meines Wissens nach fx(x)>=0 ;
> [mm]\integral_{\infty}^{ -\infty}[/mm] {f(x) dx}=1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ich vermute, dass das K einfach der erste Teil der obigen Formel ist, also
[mm] $K=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$,
[/mm]
aber das funktioniert halt nur, wenn die +1 da nicht wäre...
Gruß
Brigitte
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Di 05.07.2005 | | Autor: | Gingy |
kann es sein, das Brigitte das e vergessen hat? weil in Ihrer Antwort taucht s nicht mehr auf!?
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Hallo nochmal!
> kann es sein, das Brigitte das e vergessen hat? weil in
> Ihrer Antwort taucht s nicht mehr auf!?
Ich habe nur eine andere Schreibweise für die Exponentialverteilung verwendet:
[mm] $e^x=\exp(x)$
[/mm]
Ich habe es also nicht vergessen. Das Hochladen der Datei hat nicht geklappt, oder?
Viele Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 Di 05.07.2005 | | Autor: | Gingy |
Hallo,
klar, die datei ist hochgeladen Du/Ihr findet sie im ersten Post, ist eine jpg datei, habe die Aufgabe einfach abfotografiert...
Habe es grade nochmal getestet und es funktioniert.
Ich hoffe Ihr findet es und schafft es noch mir zu helfen...
Danke nochmal an alle, die sich für meine Zukunft bemühen!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 Di 05.07.2005 | | Autor: | Gingy |
Ersteinmal großen dank an Dich Brigitte, Du hast mich schon einen großen Schritt weiter gebracht, nur mit dem K... dummerweise ist da diese olle 1! ich habe jedenfalls die Aufgabe nochmal als Anhang hochgeladen, um Tippfehler von mir auszuschließen... wäre schön, wenn mir jemand erklären könnte wie ich K genau bestimme (am liebsten für d**fe, da sich meine linke Gehirnhälfte mit solchen Dingen immer etwas schwer tut:()...
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Hallo nochmal!
OK, es geht trotzdem. Dann muss man eben noch mehr ins K reinpacken. Aber der Reihe nach.
Die Dichte der Normalverteilung lautet
[mm] $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
[/mm]
Gegeben ist
$ [mm] f_X(x)= Ke^-(x^2+2x+2)$.
[/mm]
Das formen wir jetzt um, bis wir die obige Form erhalten haben:
$ [mm] f_X(x)= Ke^{-(x^2+2x+2)}=Ke^{-(x^2+2x+1+1)}=Ke^{-((x+1)^2+1)}$
[/mm]
[mm] $=Ke^{-1}e^{-(x+1)^2}=Ke^{-1}e^{-\frac{(x+1)^2}{2\cdot 1/2}}$
[/mm]
Jetzt vergleichen wir mit obigem Ausdruck und erkennen [mm] $\mu=-1$, $\sigma^2=1/2$ [/mm] und
[mm] $K=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\cdot e^1=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot \frac{1}{2}}\cdot e^1$
[/mm]
[mm] $=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^1=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot e^1$.
[/mm]
Weißt Du nun, wie Du die restlichen Aufgaben bearbeitest?
Sorry, dass ich nicht gleich drauf gekommen bin, wie es geht. War wohl etwas zu bequem ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
Viele Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:08 Di 05.07.2005 | | Autor: | Gingy |
Hab vielen vielen Dank!
Du warst mir eine mega große Hilfe, das kannst Du Dir gar nicht vorstellen!
Und ich finde es echt bewundernswert, wie Leute so selbstlos und schnell helfen...
Ich werde wenn ich die Klausuren hinter mir habe ebenfalls versuchen hier ab und an zu helfen!
Dieses Forum gefällt mir extrem gut und bedanke mich nochmal bei allen Helfern!!!
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