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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Sa 05.05.2012 | | Autor: | Jack2k |
| Aufgabe | Zur Mittagszeit macht man Rast in einem Ausflugslokal, das berühmt ist für seine übergroßen Bierkrüge, der Sollwert der Füllung beträgt 0,7 Liter! Da der Wirt ein sorgfältiger Mensch ist, genügt die tatsächliche Füllmenge einer Normalverteilung mit Sigma [mm]\sigma [/mm]= 0,01.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält ein zufällig ausgewählter Bierkrug mindestens 0,69 Liter
b) Welche Füllmenge wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 4 % unterschritten. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Matheraum,
mein Problem liegt in der Unsicherheit die ich bei solchen Fragen habe. Daher zuerst einmal eine Lösungen.
a) X = Füllstand mindestens, X ist N(0,7 , 0.01) verteilt.
Standardisierung von X:
Z=[mm]( \bruch{X-\mu}{\sigma} )[/mm]
Z=[mm]( \bruch{0,69-0,70}{0,01} )[/mm]=-1
P(X<0,69) = P(Z<-1) = [mm]\Phi[/mm](-1) = 1 - [mm]\Phi[/mm](1)
lt. Tabelle zur Normalverteilung der standardisierten Normalverteilung gibt das dann 1 - 0,8413 = 0,1587 oder ca. 15,87 %.
b) Hierbei bin ich vom Ergebnis ausgegangen. Also ich habe eine Wahrscheinlichkeit von 4% (0,04) angenommen und somit müsste dann die Formel 1 - 0,9599 = 0,0411 gelten. Diese 0,9599 habe ich dann wieder umgewandelt (per Tabelle nach 1,75). Nun habe ich diesen Wert an der Stelle Z eingesetzt.
Z=[mm]( \bruch{X-\mu}{\sigma} )[/mm]
1,75 = [mm]( \bruch{X-0,7}{0,01} )[/mm]
Diese Formel habe ich dann umgestellt, sodass sie nun folgend aussieht.
X = 1,75 * [mm]\sigma[/mm] - 0,7
Sodass ich einen Wert von 0,7175 herausbekomme. Somit ist die Füllmenge bei 4 % Abweichung = 0,6825.
Nun die Frage an den Matheraum, hab ich hier richtig gedacht ?
Gruß
Jack2k
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Sa 05.05.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo jack2k,
der Ansatz zeigt bei der Aufgabe a), dass Du in die richtige Richtung denkst, allerdings war dort die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit, der Bierkrug mindestens 0,69 Liter enthält, also 0,69 Liter oder mehr. Du musst also die Wahrscheinlichkeit ausrechnen für P(X > 0,69).
Bei der b) verstehe ich Deinen Ansatz nicht, Du musst die Größe X bei gegebenem Mittelwert und Varianz bestimmen, so dass die Fläche unter der Dichtekurve gerade 0,04 ergibt. Dabei tritt der praktische Fehler auf, dass Du von - Unendlich anfangen wirst zu integrieren, was praktischer Quatsch ist, da Du kaum eine negative Füllmenge im Krug haben wirst. Mach Dir nichts draus, die Mathematiker schauen da großzügig drüber, ein Biertrinker hoffentlich auch.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Mi 16.05.2012 | | Autor: | Jack2k |
Hallo Infinit,
vielen Dank für deine schnelle Antwort (ich hab es leider erst heute gesehen.).
Die Aufgabe a hab ich, wie du schon sagtest, falsch angegangen.
Bei b) komme ich aber noch nicht so ganz mit.
Als Mittelwert sehe ich hier die 0,7 Liter an, als Varianz die Normalverteilung mit [mm] \sigma [/mm] = 0,01. Dann schaue ich in meiner " Tafel zur Verteilungsfunktion [mm] \Phi [/mm] (0) der Standardisierten Normalverteilung" nach und suche dort den Wert 0,96 (oder anders herum gesprochen, den Wert 0,04). Da es den Wert 0,96 nicht gibt hab ich dann den Wert 0,9599 gewählt. Das war dann 1,75.
Nun habe ich die Formel Z = ( [mm] \bruch{X-\mu}{\sigma} [/mm])
nach X umgestellt sodass ich folgendes habe:
X = Z * [mm] \sigma - \mu[/mm]
hier setzte ich nun ein
X = 1,75 * 0,01 - 0,7 und bekomme somit 0,6825 heraus. Das muss ich nun noch umdrehen, denn ich will ja nicht 96 % sondern 4 % haben also
1 - 0,6825 = 0,3175 sodass bei Unterschreitung der Wahrscheinlichkeit von 4 % die Füllmenge bei 0,3175 l liegt.
Vielleicht (hoffentlich) habe ich es nur beim letzten Mal schlecht erklärt, weil ich ansonsten die letzten Tage in der falschen Formel gerechnet habe.
Gruß
Jack2k
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Mi 16.05.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Jack2k,
Deinen Rechenweg zu Aufgabe b) habe ich nun dank Deinerw weiteren Beschreibung besser verstanden als vorher und ja, das Ergebnis ist in Ordnung.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Mi 05.06.2013 | | Autor: | micha83 |
Wie lautet denn nun die richtige Lösung/Lösungsweg zur A ??
Danke im Vorraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Mi 05.06.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin, ich widerspreche Infinit nur ungern, aber deine Rechnung zu b) ist nicht korrekt.
Zunachst: Du suchst den 4%-Punkt der Normalverteilung mit [mm] $\mu=0.7$ [/mm] und [mm] $\sigma=0.01$. [/mm] Deine im Prinzip richtige Rechnung liefert die allgemeine Formel fuer einen Prozentpunkt [mm] $x_p=\mu+z_p\sigma$, [/mm] worin [mm] $z_p$ [/mm] der entsprechende Prozentpunkt der Standardnormalverteilung ist.
Du brauchst also [mm] $z_{0.04}$. [/mm] Du findest [mm] $z_{0.96}=1.75$, [/mm] so dass [mm] $z_{0.04}=-1.75$. [/mm] Es ergibt sich so [mm] $x_{0.04}=0.6824$.
[/mm]
Deine Rechnung zu a) ist okay.
vg Luis
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