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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 Sa 01.09.2012 | | Autor: | Kuriger |
Eine unfaire Münze mit P)Kopf) = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] wird 12 mal geworfen und gezählt, wie häufig die Münze Kopf zeigt.
a) berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit exakt, dass mindestens vier mal und höchstens sieben mal Kopf geworfen wird.
Dies habe ich mit der Binomialverteilung gelöst, was 0.59 ergibt
b)
Approximieren Sie dieselbe Grösse mit Hilfe einer Normalverteilung
[mm] \mu [/mm] = 4
[mm] \sigma [/mm] = 1.633
P(4 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 7) = 0.9676 - 0.5 = 0.468
Doch in der Lösung steht der Bereich
P(3.5 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 7.5) = 0.9839-(1 - 0.6202= 0.604,
Kann mir jemand sagen wieso der Bereich 3.5 bis 7.5 betrachtet wird...?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 Sa 01.09.2012 | | Autor: | abakus |
> Eine unfaire Münze mit P)Kopf) = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] wird 12 mal
> geworfen und gezählt, wie häufig die Münze Kopf zeigt.
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> a) berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit exakt, dass
> mindestens vier mal und höchstens sieben mal Kopf geworfen
> wird.
> Dies habe ich mit der Binomialverteilung gelöst, was 0.59
> ergibt
>
> b)
> Approximieren Sie dieselbe Grösse mit Hilfe einer
> Normalverteilung
>
> [mm]\mu[/mm] = 4
> [mm]\sigma[/mm] = 1.633
> P(4 [mm]\le[/mm] X [mm]\le[/mm] 7) = 0.9676 - 0.5 = 0.468
>
> Doch in der Lösung steht der Bereich
> P(3.5 [mm]\le[/mm] X [mm]\le[/mm] 7.5) = 0.9839-(1 - 0.6202= 0.604,
>
> Kann mir jemand sagen wieso der Bereich 3.5 bis 7.5
> betrachtet wird...?
Hallo,
das ist die so genannte Stetigkeitskorrektur.
Binomial sind nun mal nur die diskreten Werte 4, 5, 6 und 7 möglich.
Jetzt ist die Frage, wie man am vernünftigsten die lückenlosen stetigen Werte eines Zahlenstrahls diesen diskreten Werten zuordnet.
Da macht man es nun so, wie man auch runden würde:
alle reellen Zahlen von 3,5 bis 4,5 werden der Zahl 4 zugeordnet,
alle Werte zwischen 4,5 und 5,5 entsprechen der Zahl 5
usw.
Wenn man also die Wahrscheinlichkeit für das (diskrete) Auftreten von 4, 5, 6 oder 7 sucht, entspricht das dem stetigen Zahlenbereich von 3,5 bis 7,5.
Gruß Abakus
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> Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:48 Sa 01.09.2012 | | Autor: | Kuriger |
Auf Wikipedia stehen ja die Bedingung (Faustregel) für die Approximation.
http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung#Approximation_der_Binomialverteilung_durch_die_Normalverteilung (halb unten)
Faustregel 1: n*p*(1-p) = 12 * [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * (1 - [mm] \bruch{1}{3}) [/mm] = 2.66 [mm] \le [/mm] 3, also knapp nicht erfüllt
jedoch die Faustregel 2 für eine ungefähre Approximation
n*p = 12 * [mm] \bruch{1}{3} \ge [/mm] 4, ist gerade erfüllt
Also sollte man eigentlich mit der Normalverteilung nciht schlecht liegen...
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