Normalverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Do 03.01.2013 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Eine Abfüllmaschine füllt eine bestimmtes Erzeugnis in Dosen. Das Nettogewicht (gemessen in g) einer Dose sei eine normalverteilte Zufallsvariable X. Die Standardabweichung als Maß für die Präzision, mit der die Maschine arbeitet, sei [mm] \sigma [/mm] = 8.
Auf welchen Mittelwert ist die Maschine einzustellen, wenn höchstens 5% aller Dosen weniger als 250g enthalten sollen? |
Ich hab mir dazu also erstmal wieder eine Zeichnung gemacht. Gauß'sche Glockenkurve mit unbekannten Mittelwert [mm] \mu [/mm] in der Mitte. Links davon eine senkrechte Linie eingezeichnet die die 250g markieren soll. Dann hab ich mich an die Modellierung gemacht:
$P(X [mm] \leq [/mm] 250) = 0,05$
[mm] $\Phi(\frac{250-\mu}{8} [/mm] = 0,05$
Und an dieser Stelle komm ich dann nicht mehr weiter; 0,05 ist nicht tabelliert...
Wenn ich mit dem Gegenereignis arbeite, dann könnte es gehen:
$P(X [mm] \leq [/mm] 250) = 0,05$
$1-P(X [mm] \geq [/mm] 250) = 0,05$
$P(X [mm] \geq [/mm] 250) = 0,95$
Aber hier hab ich nun das Problem, dass man ja auf P(X [mm] \geq [/mm] x) keine [mm] \Phi [/mm] - Funktion anwenden kann.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Do 03.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo bandchef,
Dein erster Weg zur Beschreibung der Situation ist schon okay, Du musst jetzt aber die Phi-Funktion richtig verarbeiten.
Erst mal zum Verständnis: Wenn nur 5% der Dosen weniger als 250g enthalten sollen, so sind wir links von dem gesuchten Mittelwert (bei diesem hätten wir ja einen Wert von 50%) und wir wissen, dass das Argument der Phi-Funktion negativ sein muss, da der Mittelwert größer sein wird als 250g.
Man bekommt also wie Du richtig schreibst:
[mm] \Phi(\bruch{250-\mu}{8}) = 0.05 [/mm]
Den dazugehörigen Wert findest Du aber nicht in der Phi-Tabelle, da diese erst mit u=0 startet und dann schon einen Wert von 50% liefert. Jetzt kannst Du Dir aber die Symmetrie der Glockenkurve zunutze machen und für negative Argumente schreiben, das habe ich schon mal gestern glaube ich erwähnt,
[mm] \Phi(-u) = 1 - \Phi(u) = 0,05 [/mm]
Stelle diese Gleichung mal nach Phi um und Du bekommst
[mm] 0,95 = \Phi(u) [/mm]
Dafür finden wir einen Wert in der Tabelle, 1,64 habe ich abgelesen.
Wenn Du jetzt den Bruch einsetzt aus der Phi-Funktion und das Minuszeichen berücksichtigst (es vertauscht gerade die Terme im Zähler), heisst das doch:
[mm] 1,64 = \bruch{\mu-250}{8} [/mm]
Damit kommst Du für den gesuchten Mittelwert auf einen Wert von
[mm] \mu = 8 \cdot 1,64 + 250 = 263,12 [/mm]
Das ist sozusagen die Standardvorgehensweise bei negativem Phi-Argument, wenn man sich also im Bereich links des Mittelwertes bewegt.
Viele Grüße,
Infint
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Do 03.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Den "glatten" Wert 0,95 finde ich in der Ansammlung der Werte nicht... Nur 0,9495 bzw. 0,9505. Ist dann das Ergebnis nicht auch 1,645?
Wie muss ich das jetzt notieren? Ich probiers mal:
$P(X [mm] \leq [/mm] 250) = 0,05$
[mm] $\underbrace{\Phi\left( \frac{250-\mu}{8} \right)}_{\Phi(-u) = 1-\Phi(u)} [/mm] = 0,05$
[mm] $1-\Phi\left(\frac{250-\mu}{8}\right) [/mm] = 0,05$
[mm] $\Phi\left(\frac{250-\mu}{8}\right) [/mm] = 0,95$ nun wende ich auf beiden Seiten [mm] \Phi^{-1} [/mm] an, mit der Auswirkung, dass auf der linken Seite die Funktion wegfällt und ich auf der rechten den Wert 0,95 im Werte-Feld suchen muss und mir den "neuen Wert" so "zusammenbauen" muss. (Wie nennt man diesen Vorgang? Wie heißen diese Werte im "Werte-Feld" richtig? Wie nennt sich diese "zusammenbauen"? Wie nennt sich dieser Wert der da dann rauskommt?
[mm] $\frac{250-\mu}{8} [/mm] = 1,645$
> Wenn Du jetzt den Bruch einsetzt aus der Phi-Funktion und das Minuszeichen berücksichtigst (es vertauscht gerade die Terme im Zähler), heisst das doch:
Und genau hier ist nun das Problem. Wo bekomme ich diese Minus her?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo bandchef,
ja, der Wert ist nicht direkt in der Tabelle zu finden und Du kannst dann zwischen den beiden Werten, die Du ablesen kannst, linear interpolieren. Damit kommst Du zu einem Wert von 1,645.
Nun aber noch mal zu dem Minuszeichen, das ich erst ganz unten richtig aufgelöst habe, man sollte es aber in Hinblick auf die Schreibweise des Argumentes der Phi-Funktion schon weiter oben in der Rechnung berücksichtigen.
Wir wissen, dass das Argument negativ sein muss und wir wissen auch, dass wir den Zusammenhang
[mm] \Phi(-u) = 1 - \Phi(u) = 0,05 [/mm] anwenden müssen, um das Argument in einer Tabelle nachschlagen zu können. Nach dem Umstellen bekommen wir rein formell
[mm] \Phi(u) = 0,95 [/mm] und jetzt schauen wir uns das Argument nochmal genauer an.
Das Argument [mm] \bruch{250-\mu}{8} [/mm] ist negativ und demzufolge kann ich es auch schreiben, indem ich aus dem Zähler ein Minuszeichen herausziehe und die beiden Terme im Zähler gerade vertausche, das was ich gemacht habe. Also:
[mm] \bruch{250-\mu}{8}= - \bruch{\mu-250}{8} [/mm]
Wenn Du nun den Term rechts mit dem Argument -u aus der Phi-Funktion vergleichst, dann ist doch
[mm] u = \bruch{\mu-250}{8} [/mm] und dann kannst Du die Phi-Funktion auflösen und weiterrechnen mit
[mm] 1,645 = \bruch{\mu-250}{8} [/mm]
Ich hoffe, diese kleine Umformung, die wir aber brauchen, ist nun klarer geworden.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Fr 04.01.2013 | | Autor: | bandchef |
So, ich hab mir also nun nochmal die Aufgabe angeschaut und deine weiteren Tips beachtet:
$P(X [mm] \leq [/mm] 250) = 0,05$
[mm] $\Phi\left( \underbrace{\frac{250- \mu}{8}}_{=-u} \right) [/mm] = 0,05$
[mm] $\Phi\left( -\frac{\mu-250}{8} \right) [/mm] = 0,05$ Woher weiß ich eben nun, dass ich das Minus rausziehen muss? Ich hab ja schon mehr Aufgaben mit diesem Komplementärereignis gehabt und hab bisher nie zu dieser Form "-u" umgeformt... Die nächste Frage ist dann, woher ich einfach so annehmen kann, dass alls von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \mu [/mm] auf Glockenkurve negativ ist? Ist diese Glockenkurve so definiert, dass von links bis zu µ alles negativ und von µ bis ganz rechts alles positiv ist? Außerdem: [mm] \Phi(-u) [/mm] = [mm] 1-\Phi(u)
[/mm]
[mm] $1-\Phi\left( \frac{\mu-250}{8} \right) [/mm] = 0,05$
[mm] $\Phi\left( \frac{\mu-250}{8} \right) [/mm] = 0,95$ Hier wende ich nun auf beiden Seiten [mm] \Phi^{-1} [/mm] an
[mm] $\frac{\mu-250}{8} [/mm] = 1,645$
[mm] $\mu [/mm] = 263,16$
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo bandchef,
dass dieses Argument negativ sein muss, liegt daran, dass wir einen x-Wert suchen, der gerade so liegt, dass die Fläche unter der Glockenkurve gerade mal 0,05 ergibt. Die Normierung einer Normalverteilung, wie wir sie hier durchführen, um mit der Phi-Funktion rechnen zu können, geht doch davon aus, dass der Mittelwert [mm] \mu [/mm] der Verteilung bei x=0 liegt und der Phi-Wert demzufolge 50% oder 0,5 beträgt. Zu 0,05 muss also ein negatives Argument gehören und dann greift die Umformung.
Die Größen, die eine Normalverteilung bestimmen, sind der Mittelwert und die Varianz, durch den Term [mm] x - \mu [/mm] wird der Mittelwert gerade so verschoben, dass er bei x = 0 liegt. Solch eine Verteilung nennt man eine Standardnormalverteilung (siehe ![[]](/images/popup.gif) hier) und die Fläche unter dieser Kurve ist durch die Phi-Funktion definiert.
VG,
Infinit
|
|
|
|
