Normalverteilung, Kovarianz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:34 Sa 25.05.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Seien [mm] X_1 [/mm] ,.., [mm] X_n [/mm] unabhängige N(0,1) Zufallsvariablen, [mm] X=(X_1 [/mm] ,.., [mm] X_n) [/mm] und [mm] m=(m_1 [/mm] ,.., [mm] m_n) [/mm] n-dimensionale Vektoren, und B eine n [mm] \times [/mm] n Matris. Dann hat Y= m + BX die Dichte
[mm] f_Y [/mm] (x) = [mm] \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n det \Sigma}} [/mm] exp [mm] (-\frac{1}{2} (x-m)^T \Sigma^{-1} [/mm] (x-m)),
wobei [mm] \Sigma= [/mm] B [mm] B^T
[/mm]
1) Zeige , [mm] \Sigma_{i,j} [/mm] = Cox [mm] (Y_i, Y_j)
[/mm]
2) Zeige: Gilt füe zwei Zufallsvariablen [mm] Y_1 [/mm] ~ N( [mm] \mu_1 [/mm] , [mm] \sigma_1^2) [/mm] und [mm] Y_2 [/mm] ~ [mm] N(\mu_2 [/mm] , [mm] \sigma_2^2) [/mm] dass die Kovarianz [mm] Cov(Y_1 [/mm] , [mm] Y_2)=0 [/mm] , dann sind [mm] Y_1 [/mm] und [mm] Y_2 [/mm] unabhängig.
Hinweis: Betrachte die gem dichte von [mm] Y_1 [/mm] und [mm] Y_2 [/mm] und benutze punkt 1! |
1) hab ich
2)Cov( [mm] Y_i, Y_i [/mm] )= [mm] Var(Y_i)=\sigma_i^2
[/mm]
[mm] Cos(Y_1, Y_2)= Cov(Y_2, Y_1)=0
[/mm]
=> [mm] \Sigma= \pmat{ \sigma_1^2 & 0\\ 0 & \sigma_2^2 }
[/mm]
=> [mm] \Sigma^{-1}=\frac{1}{\sigma_1^2 \sigma_2^2} \pmat{ \sigma_2^2 & 0\\ 0 & \sigma_1^2 }
[/mm]
Wie kann ich die gemeinsame Dichte ausrechnen? Ich habe nur eine Formel für [mm] Y_1, Y_2 [/mm] unabhängig, denn dann ist es das Produkt der Randdichten.
Um die Dichte in der Angabe zu verwenden, müsste sich jede Normalverteilte Zufallsvariable als [mm] Y_i [/mm] = [mm] m_i [/mm] + b X mit X ~ N(0,1) schreiben lassen.
Ich komme da nicht weiter!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 So 26.05.2013 | | Autor: | luis52 |
> Wie kann ich die gemeinsame Dichte ausrechnen? Ich habe nur
> eine Formel für [mm]Y_1, Y_2[/mm] unabhängig, denn dann ist es das
> Produkt der Randdichten.
>
Schreibe doch mal die Dichte auf fuer den Fall $n=2$ auf oder google bivariate Normalverteilung. Dann setzte deine Ergebnisse ein fuer [mm] $\Sigma^{-1}$. [/mm] Dann wirst du sehen, dass sich die gemeinsame Dichte als ein bestimmtes Produkt darstellen laesst.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:18 Mo 27.05.2013 | | Autor: | sissile |
*danke, hat geklappt ;)
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