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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 Mo 04.02.2008 | | Autor: | vega_ffm |
| Aufgabe | A questionnaire is developed to assess womens and mens attitudes
toward using animals in research. One question asks whether
animal research is wrong and is answered on a 7-point scale.
Assume that in the population, the mean for women is 5, the mean
for men is 4, and the standard deviation for both groups is 1.5.
Assume the scores are normally distributed. If 12 women and 12
men are selected randomly, what is the probability that the mean
of the women will be more than 1.5 points higher than the mean of
the men? |
Jetzt zur Frage. Es geht mir nicht um die Lösung der Aufgabe, denn das habe ich bereits geschafft. Es geht mir um einen Lösungsansatz im Script.
Dort steht, dass
Xi ~ N(5, 2.25), Yi ~ N(4, 2.25) for i = 1, 2, ..., 12 and Xi, Yi
was ja auch Sinn macht, nach der Aufgabenstellung. Gefragt ist aber nach der Differenz der Mittelwerte (mean). Und es wurde angeben, dass die beiden Mittelwerte folgender Normalverteilung genügen:
[mm] \overline{X} [/mm] ~ [mm] N(5,\bruch{2,25}{12})
[/mm]
[mm] \overline{Y} [/mm] ~ [mm] N(4,\bruch{2,25}{12})
[/mm]
[mm] \overline{X} [/mm] - [mm] \overline{Y} [/mm] ~ [mm] N(1,\bruch{2,25}{12}+\bruch{2,25}{12})
[/mm]
Was ich nicht nachvollziehen kann ist der Nenner "12". Sicher, es sind jeweils 12 Teilnehmer, aber wieso wird dadurch die Varianz um den Faktor 12 kleiner, bzw. die Standardabweichung um [mm] \wurzel{12}?
[/mm]
Ich hoffe ihr könnt mein Problem nachvollziehen. Ich stehe seit Tagen auf dem Schlauch. :-(
MfG vega_ffm
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> A questionnaire is developed to assess womens and mens
> attitudes
> toward using animals in research. One question asks
> whether
> animal research is wrong and is answered on a 7-point
> scale.
> Assume that in the population, the mean for women is 5,
> the mean
> for men is 4, and the standard deviation for both groups
> is 1.5.
> Assume the scores are normally distributed. If 12 women
> and 12
> men are selected randomly, what is the probability that
> the mean
> of the women will be more than 1.5 points higher than the
> mean of
> the men?
> Jetzt zur Frage. Es geht mir nicht um die Lösung der
> Aufgabe, denn das habe ich bereits geschafft. Es geht mir
> um einen Lösungsansatz im Script.
>
> Dort steht, dass
> Xi ~ N(5, 2.25), Yi ~ N(4, 2.25) for i = 1, 2, ..., 12 and
> Xi, Yi
>
> was ja auch Sinn macht, nach der Aufgabenstellung. Gefragt
> ist aber nach der Differenz der Mittelwerte (mean). Und es
> wurde angeben, dass die beiden Mittelwerte folgender
> Normalverteilung genügen:
>
> [mm]\overline{X}[/mm] ~ [mm]N(5,\bruch{2,25}{12})[/mm]
>
> [mm]\overline{Y}[/mm] ~ [mm]N(4,\bruch{2,25}{12})[/mm]
>
> [mm]\overline{X}[/mm] - [mm]\overline{Y}[/mm] ~
> [mm]N(1,\bruch{2,25}{12}+\bruch{2,25}{12})[/mm]
>
> Was ich nicht nachvollziehen kann ist der Nenner "12".
> Sicher, es sind jeweils 12 Teilnehmer, aber wieso wird
> dadurch die Varianz um den Faktor 12 kleiner, bzw. die
> Standardabweichung um [mm]\wurzel{12}?[/mm]
Dies ist eben der heilsame Effekt der Mittelung. Dies zeigt auch, dass man mit grösserem Stichprobenumfang $n$ den wahren Mittelwert von $X$ mit grösserer Genauigkeit schätzen kann.
> Ich hoffe ihr könnt mein Problem nachvollziehen. Ich stehe
> seit Tagen auf dem Schlauch. :-(
[mm]\mathrm{var}(\overline{X})=\mathrm{var}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\right)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n\mathrm{var}(X_i)=\frac{1}{n}\mathrm{var}(X)[/mm]
Nun brauchst Du nur noch die Wurzel zu ziehen und erhältst: [mm] $\sigma(\overline{X})=\frac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}$.
[/mm]
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