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Normalverteilung mal Faktor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:41 Do 25.10.2012
Autor: erisve

Aufgabe
Wenn X normalverteilt ist,
ist dann auch a*X mit a [mm] \in \IR [/mm] normalverteilt?
Wie sehe die Dichte von a*X aus?
Die Dichte von X ist gegeben durch
[mm] f(x)=\frac{1}{2\pio }*exp(\frac{x-\mu)^2}{2o²}. [/mm]

Könnte man dann die Dichte von a*X  so beschreiben?
[mm] f(x)=\frac{1}{2\pio }*exp(\frac{a*x-\mu)^2}{2o²} [/mm]
oder so:
[mm] f(x)=\frac{1}{2\pio }*exp(\frac{x-\mu)^2}{2o²}*a? [/mm]

Freue mich auf eure Meinungen ;)

        
Bezug
Normalverteilung mal Faktor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:58 Do 25.10.2012
Autor: luis52

Moin

> Wenn X normalverteilt ist,
> ist dann auch a*X mit a [mm]\in \IR[/mm] normalverteilt?

Ja, sofern [mm] $a\ne0$. [/mm]

> Wie sehe die Dichte von a*X aus?
>  Die Dichte von X ist gegeben durch
> [mm]f(x)=\frac{1}{2\pio }*exp(\frac{x-\mu)^2}{2o²}.[/mm]
>  Könnte
> man dann die Dichte von a*X  so beschreiben?
>  [mm]f(x)=\frac{1}{2\pio }*exp(\frac{a*x-\mu)^2}{2o²}[/mm]
>  oder
> so:
>  [mm]f(x)=\frac{1}{2\pio }*exp(\frac{x-\mu)^2}{2o²}*a?[/mm]
>  
> Freue mich auf eure Meinungen ;)

Du musst zwei Faelle unterscheiden: (i) $a>0$ und (ii) $a<0$.

(i) Ich bestimme die Verteilungsfunktion von $aX$:

[mm] $F(z)=P(aX\le z)=P(X\le \frac{z}{a})=\Phi\left(\dfrac{z/a-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\left(\dfrac{z-a\mu}{a\sigma}\right)$. [/mm]

Das ist die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung mit Erwartungswert [mm] $a\mu$ [/mm] und Varianz [mm] $a^2\sigma^2$. [/mm]

Fall (ii) ueberlasse ich dir.

vg Luis



Bezug
        
Bezug
Normalverteilung mal Faktor: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:16 Do 25.10.2012
Autor: erisve

Hey, dankeschön für deine schnelle Antwort.
Ah ich weiß, was du meinst, bei der Umformung, würde sich ma negativen Faktoren das Ungleichheitszeichen umdrehen. Dann würde man die entspechende gegenwahrscheinlichkeit aufstellen:
[mm] 1-p(x\le [/mm] z)

Bezug
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