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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Murx |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für alle Vektoren x [mm] \in \IR^{n} [/mm]
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2} \le \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{1} [/mm] gilt. |
Hallo,
kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich hab gelesen, das sie über die folgende Ungleichung gelöst werden kann:
[mm] \summe_{i=1}^{k} |x_{i}|^{2} \le (\summe_{i=1}^{k} |x_{i}|)²
[/mm]
Die p-Normen sind mir bekannt. Auf der rechten Seite steht doch nun einfach die Summennorm (Einsnorm) zum Quadrat und auf der linken Seite [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2} [/mm] (Zweinorm), oder?
Wie kommt man nun auf diese Gleichung? Fällt die einfach vom Himmel? Wie geht man dann weiter vor?
Wär super, wenn mir hier jemand bitte weiterhelfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Mi 06.05.2009 | | Autor: | pelzig |
> [mm]\summe_{i=1}^{k} |x_{i}|^{2} \le (\summe_{i=1}^{k} |x_{i}|)²[/mm]
> Auf der rechten Seite steht doch nun einfach die Summennorm
> (Einsnorm) zum Quadrat und auf der linken Seite [mm]\|x\|_2[/mm] (Zweinorm), oder?
Nein, auf der linken Seite steht die das Quadrat der 2-Norm, auf der rechten das Quadrat der 1-Norm.
> Wie kommt man nun auf diese Gleichung? Fällt die einfach
> vom Himmel? Wie geht man dann weiter vor?
Multiplizier doch mal die rechte Seite aus...
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Murx |
Hallo,
OK, das mit der linken Seite hab ich eingesehen, hatte die wurzel vergessen.
Und wenn ich mir die rechte Seite anschaue, dann sehe ich auch, dass diese größer ist, als die linke, weil ich da ja ein 2. Binom habe.
Aber das reicht doch so noch nicht, oder? Wie geht man da nun weiter vor? Kann man mir da vielleicht nochmal bitte helfen?
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Mi 06.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Murx
du kansst entweder die Summe ausmult. (Cauchyprodukt oder ne einfache Induktion ueber k machen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Murx |
Hallo nochmal,
also ich hab das jetzt mal über Induktion versucht zu zeigen.
Beim Induktioinsschritt bin ich mir allerdings nicht ganz sicher, ob ich das richtig gemacht hab. Ich hab das so gemacht:
n [mm] \mapsto [/mm] n+1:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} |x_{i}|² [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} |x_{i}|² [/mm] + [mm] |x_{n+1}|²
[/mm]
nach Induktionsvoraussetzung gilt dann:
[mm] \summe_{i=1}^{n} |x_{i}|² [/mm] + [mm] |x_{n+1}|² \le (\summe_{i=1}^{n} |x_{i}|)² [/mm] + [mm] |x_{n+1}|²
[/mm]
Damit folgt doch dann einfach:
[mm] \summe_{i=1}^{n} |x_{i}|² \le (\summe_{i=1}^{n} |x_{i}|)² [/mm]
und damit die Behauptung.
Ist das so richtig? Oder hab ich irgendwo nen Fehler gemacht?
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Mi 06.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo nochmal,
>
> also ich hab das jetzt mal über Induktion versucht zu
> zeigen.
> Beim Induktioinsschritt bin ich mir allerdings nicht ganz
> sicher, ob ich das richtig gemacht hab. Ich hab das so
> gemacht:
>
> n [mm]\mapsto[/mm] n+1:
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1} |x_{i}|² = \summe_{i=1}^{n} |x_{i}|² + |x_{n+1}|²[/mm]
>
> nach Induktionsvoraussetzung gilt dann:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} |x_{i}|² + |x_{n+1}|² \le (\summe_{i=1}^{n} |x_{i}|)²[/mm]
> + [mm] |x_{n+1}|²[/mm]
[/mm]
>
> Damit folgt doch dann einfach:
Da fehlt ein Schritt zu dem du einfach "einfach" sagst.
es fehlt der Schritt
[mm](\summe_{i=1}^{n} |x_{i}|)² + |x_{n+1}|²\le (\summe_{i=1}^{n+1} |x_{i}|)²[/mm]
da musst du auch noch nach Summe bis n und den n+1 aufteilen und quadriereren.
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} |x_{i}|² \le (\summe_{i=1}^{n} |x_{i}|)²[/mm]
ich denke das war die Ind,Vors, die sollte als erstes da stehen, bevor du mit dem Beweis anfaengst. und nicht hier am ende. (davor noch der Ind. Anfang.)
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Murx |
Hallo,
ja, den Induktionsanfang hatte ich schon gemacht. Das war nicht schwer, deshalb hatte ich ihn nicht mehr hierhin geschrieben.
Zum Induktionsschritt, verstehe ich leider noch nicht, was da fehlt. Was soll denn [/mm] sein? Ist das nicht richtig dargestellt worden? Kannst du das vielleicht bitte nochmal erklären?
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Mi 06.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die mm sind entfernt.
lies dirs noch mal durch. jetzt sollte es klar sein. sonst zitiere und sag genau, wo du es nicht versehst.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Murx |
Ok, jetzt hab ich verstanden, was du meintest.
Aber leider weiß ich nicht, wie ich [mm] (\summe_{i=1}^{n+1} |x_{i}|)²
[/mm]
in n und n+1 zerlegen kann.
Ich hab da ja ein Binom über die summe ganz vieler beträge. Wie kann man das denn jetzt zerlegen? Ich kann ja nicht einfach [mm] |x_{n+1}| [/mm] rausziehen (eben wegen diesem Binom).
Vielleicht kann man mir da nochmal weiterhelfen. Danke.
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> Ok, jetzt hab ich verstanden, was du meintest.
>
> Aber leider weiß ich nicht, wie ich [mm](\summe_{i=1}^{n+1} |x_{i}|)²[/mm]
>
> in n und n+1 zerlegen kann.
> Ich hab da ja ein Binom über die summe ganz vieler beträge.
> Wie kann man das denn jetzt zerlegen? Ich kann ja nicht
> einfach [mm]|x_{n+1}|[/mm] rausziehen (eben wegen diesem Binom).
>
Hallo,
meinst Du sowas:
[mm] (\summe_{i=1}^{n+1} |x_{i}|)²=([\summe_{i=1}^{n} |x_{i}| [/mm] ] + [mm] |x_{n+1}|)²= [/mm] ... und jetzt binomische Formel.
Oder was ist Dein Ziel?
Gruß v. Angela
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