Normen/Abschätzung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 So 22.05.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
seien [mm] ||x||_{1} [/mm] die 1-Norm für alle x [mm] \in \IR^{n} [/mm] mit [mm] ||x||_{1}=1
[/mm]
und [mm] ||x||_{2} [/mm] (die euklidische Norm) gegeben.
Ich suche eine Konstante m>0 so, dass [mm] m*||x||_{1} \le ||x||_{2} [/mm] für alle x (x definiert wie oben).
Dazu soll ich nach einer Aufgabenstellung [mm] ||x||_{1} [/mm] als Skalarprodukt schreiben.
Ich habe folgendes versucht:
[mm] ||x||_{1}= ||x||_{1}*||x||_{1} [/mm] = [mm] |x_{1}|^{2} [/mm] + [mm] |x_{1}|(|x_{2}|+...+|x_{n}|)+...+|x_{n}|^{2} [/mm] + [mm] |x_{n}|(|x_{1}|+...+|x_{n-1}|)=
[/mm]
<x,x> + [mm] |x_{1}|(|x_{2}|+...+|x_{n}|)+...+|x_{n}|(|x_{1}|+...+|x_{n-1}|)= \wurzel{ + |x_{1}|(|x_{2}|+...+|x_{n}|)+...+|x_{n}|(|x_{1}|+...+|x_{n-1}|)}\le \wurzel{ +n}. [/mm]
(Wurzel kann man dazu schreiben, weil [mm] ||x||_{1}=1 [/mm] ist)
Dann wollte ich irgendwie mit [mm] \wurzel{*n} [/mm] weiter abschätzen, denn
aus wikipedia habe ich [mm] ||x||_{1} \le ||x||_{2}*\wurzel{n} [/mm] gesehen.
Jedoch , es hat bei mir nicht geklappt .
Wie kann man eine Konstante m>0 bestimmen ?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:37 Mo 23.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] $x=(x_1,...,x_n) \in \IR^n [/mm] gegeben.
Setze [mm] $y=(|x_1|,...,|x_n|)$ [/mm] und [mm] $x_0=(1,1,...,1)$
[/mm]
Dann ist
[mm] $||x||_1=\summe_{i=1}^{n}|x_i|=\summe_{i=1}^{n}|x_i|*1=$
[/mm]
Mit der Cauchy-Schwarzschen Ungl. folgt:
[mm] $||x||_1 \le ||y||_2*||x_0||_2= ||x||_2*\wurzel{n}$
[/mm]
FRED
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