Normen in L_p < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir betrachten [mm] L^{2}(-1,1) [/mm] als den Raum der quadratintegrablen Funktionen bzgl. des Lebesgue Maßes.
Gegeben sind die Normen: [mm] \parallel{f}\parallel_{1}:=\integral_{-1}^{1}{|f(x)| dx} [/mm] und [mm] \parallel{f}\parallel_{2}:=\wurzel{\integral_{-1}^{1}{|f(x)|^{2} dx}}. [/mm] Zeigen Sie, die Normen sind auf X nicht äquivalent.
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Hallo!
Ich habe bisher noch nicht allzu viel Erfahrung mit den Lebesgueschen Räumen.
Ich weiß, dass die Norm [mm] \parallel{.}\parallel_{2} [/mm] stärker ist als [mm] \parallel{.}\parallel_{1}.
[/mm]
Ich denke, ich brauche eine Funktionenfolge die in [mm] L^{1} [/mm] aber nicht in [mm] L^{2} [/mm] konvergiert.
Nur wie kriege ich eine solche?
Grüße Elvis
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Hallo!
keiner eine Idee?
Grüße Elvis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:31 Mo 27.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Dass beides Normen sind, bekommst Du hin ? Oder ?
Zur Äquivalenz:
Du mußt nur beachten, dass X bezüglich [mm] ||*||_2 [/mm] vollständig ist, bezügl. [mm] ||*||_1 [/mm] aber nicht.
FRED
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Hallo Fred!
Danke dass du noch drauf geantwortet hast!
Ja dass es Normen sind kann ich zeigen.
Wie konstruiere ich mir am besten eine solche Cauchyfolge?
Wäre dann dadurch gezeigt, dass [mm] \parallel{.}\parallel_{2} [/mm] nciht durch [mm] \parallel{.}\parallel_{1} [/mm] nach oben abgeschätzt werden kann?
Danke für deine Hilfe!
Grüße Elvis.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 Mi 29.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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