Normierter Eigenvektor < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:34 Mo 28.02.2011 | | Autor: | TeQ |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie einen normierten Eigenvektor der Matrix B = [mm] \pmat{ 1 & 7 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 } [/mm] |
Hallo zusammen.
Zu dieser Aufgabe habe ich folgende Fragen. 1) Ist es richitg, dass ich bevor ich den Eigenvektor bestimmen kann, die Eigenwerte errechnen muss? Soweit komme ich in der Aufgabe und habe für [mm] \lambda [/mm] = 1 rausbekommen.
Jetzt möchte ich gerne wissen wie ich mit dem [mm] \lambda [/mm] weiterrechnen muss, um einen normierten Eigenvektor zu erhalten.
Vielen dank für die Mühe schonmal im vorraus ;)
Gruß TeQ
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:42 Mo 28.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie einen normierten Eigenvektor der Matrix B =
> [mm]\pmat{ 1 & 7 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 }[/mm]
> Hallo
> zusammen.
> Zu dieser Aufgabe habe ich folgende Fragen. 1) Ist es
> richitg, dass ich bevor ich den Eigenvektor bestimmen kann,
> die Eigenwerte errechnen muss? Soweit komme ich in der
> Aufgabe und habe für [mm]\lambda[/mm] = 1 rausbekommen.
> Jetzt möchte ich gerne wissen wie ich mit dem [mm]\lambda[/mm]
> weiterrechnen muss, um einen normierten Eigenvektor zu
> erhalten.
Berechne alle Eigenvektoren zum Eigenwert 1. Nimm Dir einen von denen und nenne ihn [mm]v[/mm]
Dann hast Du mit [mm] \bruch{v}{||v||} [/mm] das , was Du suchst.
FRED
>
> Vielen dank für die Mühe schonmal im vorraus ;)
>
> Gruß TeQ
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 Mo 28.02.2011 | | Autor: | TeQ |
ah ok soweit verstanden.
nur bleibt mir die frage wie ich auf die Eigenvektoren komme. wenn ich [mm] \lambda [/mm] in die ausgangsmatrix einsetze erhalte ich [mm] \pmat{ 0 & 7 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 } [/mm] * x = 0 wie lässt sich nun der Eigenvektor errechnen?
gruß TeQ
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 Mo 28.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> ah ok soweit verstanden.
> nur bleibt mir die frage wie ich auf die Eigenvektoren
> komme. wenn ich [mm]\lambda[/mm] in die ausgangsmatrix einsetze
> erhalte ich [mm]\pmat{ 0 & 7 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 }[/mm] *
> x = 0 wie lässt sich nun der Eigenvektor errechnen?
>
Schau mal hier
https://matheraum.de/read?i=774029
und meine Antwort darauf.
FRED
> gruß TeQ
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zu der aufgabe habe ich eine frage, denn ich weiß nicht ob ichs alles richtig gemacht habe und ob das alles so sinn macht was ich mache.
also irgendwie komme ich bei der aufgabe nur auf den einen eigenwert.
[mm] \lambda [/mm] = 1
so, dann gilt ja für einen eigenvektor die bedingung:
[mm] (B-\lambda [/mm] *E) * [mm] \vektor{x} [/mm] = 0. diese bedingung muss der vektor x ja erfüllen.
B ist natürlich die oben beschriebene matrix.
[mm] \pmat{ 1 & 7 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 } [/mm] - [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 7 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 }
[/mm]
daraus folgt dann: [mm] \pmat{ 0 & 7 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 } [/mm] * [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3} [/mm] = 0
daraus habe ich dann die gleichungen:
0*x1+7*x2+2*x3=0
0*x1+0*x2+0*x3=0
0*x1+3*x2+0*x3=0
ich sehe das so, dass x1 nun beliebig ist ich habs mal als 6 gewählt, x2 und x3 müssen gleich 0 sein.
also x1=6, x2=0, x3=0
sprich der vektor [mm] \vektor{x} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
tippe ich das nun in die Norm eins ein ergibt sich ja [mm] \wurzel{6^1 + 0^1 + 0^1} [/mm] = [mm] \wurzel{6}
[/mm]
wenn ich nun den tipp oben nehme und den vekotr durch den vektor in der norm teile, ergibt sich für mich: [mm] 6/\wurzel{6} [/mm] = [mm] \wurzel{6}
[/mm]
wäre mein ergebnis nun [mm] \wurzel{6} [/mm] * [mm] \vektor{6 \\ 0 \\ 0} [/mm] oder was ist das ergebnis.
danke schonmal im vorraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:44 Mo 28.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> zu der aufgabe habe ich eine frage, denn ich weiß nicht ob
> ichs alles richtig gemacht habe und ob das alles so sinn
> macht was ich mache.
>
> also irgendwie komme ich bei der aufgabe nur auf den einen
> eigenwert.
> [mm]\lambda[/mm] = 1
>
> so, dann gilt ja für einen eigenvektor die bedingung:
>
> [mm](B-\lambda[/mm] *E) * [mm]\vektor{x}[/mm] = 0. diese bedingung muss der
> vektor x ja erfüllen.
> B ist natürlich die oben beschriebene matrix.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 7 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 }[/mm] - [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 & 7 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 }[/mm]
>
> daraus folgt dann: [mm]\pmat{ 0 & 7 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 }[/mm]
> * [mm]\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}[/mm] = 0
>
> daraus habe ich dann die gleichungen:
>
> 0*x1+7*x2+2*x3=0
> 0*x1+0*x2+0*x3=0
> 0*x1+3*x2+0*x3=0
>
> ich sehe das so, dass x1 nun beliebig ist ich habs mal als
> 6 gewählt, x2 und x3 müssen gleich 0 sein.
>
> also x1=6, x2=0, x3=0
>
> sprich der vektor [mm]\vektor{x}[/mm] = [mm]\vektor{6 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> tippe ich das nun in die Norm eins ein ergibt sich ja
> [mm]\wurzel{6^1 + 0^1 + 0^1}[/mm] = [mm]\wurzel{6}[/mm]
Na, na, wie ist denn die Norm def. ????
[mm]\wurzel{6^2 + 0^2 + 0^2}[/mm] = [mm]\wurzel{36}=6[/mm]
>
> wenn ich nun den tipp oben nehme und den vekotr durch den
> vektor in der norm teile, ergibt sich für mich:
> [mm]6/\wurzel{6}[/mm] = [mm]\wurzel{6}[/mm]
>
> wäre mein ergebnis nun [mm]\wurzel{6}[/mm] * [mm]\vektor{6 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Nein: Sondern
[mm]\bruch{1}{6}[/mm] * [mm]\vektor{6 \\ 0 \\ 0}= \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
FRED
> oder was ist das ergebnis.
> danke schonmal im vorraus
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ahso. okay.
hatte irgendwo im internet gelesen dass für einen normierten eigenvektor ich die norm eins nehmen muss. wahr wohl falsch.
aber ich verstehe noch nicht ganz wie man dann auf [mm] \bruch{1}{6} [/mm] kommt.
muss man dann wie in der vorhin erwähnten formel [mm] \bruch{v}{\parallel v \parallel} [/mm] , [mm] \bruch{6}{6^2} [/mm] einsetzen? weil das ergebins der norm ist ja eigentlich 6. somit müsste da ja stehen [mm] \bruch{6}{6}. [/mm] oder ist die 6 über dem bruchstrich vll falsch?
dumme frage ich weiß, aber weiß nicht wie man darauf kommt.
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 Mo 28.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Ist $v= [mm] \vektor{6 \\ 0 \\ 0}$, [/mm] so ist doch [mm] $||v||_2= [/mm] 6 $, oder nicht ?
Damit ist
[mm] $\bruch{v}{||v||}= \vektor{1 \\ 0 \\ 0}$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:18 Mo 28.02.2011 | | Autor: | freak-club |
jap, alles klar geworden. vielen dank für die gute hilfe
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