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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:00 Fr 25.04.2008 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass in einem normierten Raum (X,||.||) stets
[mm] \overline{B_{r}(x_{0})}=\overline{\left\{{x\in\empty X : ||x-x_{0}||
für [mm] x_{0}\in\empty [/mm] X, r>0 gilt. |
Kann mir bitte einer helfen?
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Was genau ist dein Problem: Die Anschauung oder die Frage nach dem Vorgehen beim Beweis?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:31 Fr 25.04.2008 | | Autor: | DerGraf |
Zunächst einmal die Anschauung. Ich weiß, dass [mm] \overline{B_{r}(x)} [/mm] der Abschluss einer offenen Kugel und [mm] K_{r}(x) [/mm] eine geschlossene Kugel ist. Ich kann mir nur leider nicht allzuviel darunter vorstellen.
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Zur Anschauung: Nehmen wir mal die euklidische Norm. Dann ist die abgeschlossene Kugel genau die Figur, die man schon immer als Kugel kennt. Schwieriger ist da schon die offene Kugel: Im Prinzip ist das die geschlossene Kugel ohne den Rand. Stell's dir als Kartoffel vor - einmal ungeschält (abgeschlossen) und einmal geschält (offen). ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Stellt man sich das gleiche Problem übrigens in einem metrischen Raum, dann gilt die Aussage nicht. Es gibt ziemlich seltsame Metriken, die nicht durch eine Norm induziert werden... Beispiel diskrete Metrik (siehe ![[]](/images/popup.gif) hier.
Was den Beweis angeht: Wenn die abgeschlossene Kugel tatsächlich der Abschluss der offenen Kugel ist, dann muss die Differenz der beiden Mengen - also die Menge [mm]R=\{x\in X| \; ||x-x_0||=r \}[/mm] - der Rand sein. Man hat zu zeigen, dass jede Umgebung jedes Punktes aus R Punkte enthält, die in B liegen und welche die nicht in B liegen. Ich würde hier Punkte untersuchen, die auf der Verbindungsgeraden zwischen x und [mm] x_0 [/mm] liegen (hier kommt dann die Homogenität der Norm (2. Bedingung) zum Tragen).
Außerdem muss man zeigen, dass R schon der gesamte Rand ist. Das ergibt sich aber daraus, dass B ganz in K liegt und K als abgeschlossene Menge damit entweder schon der Abschluss ist oder diesen enthält, denn der Abschluss von B ist ja die kleinste abgeschlossene Menge, die B enthält.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:04 Fr 25.04.2008 | | Autor: | DerGraf |
Danke für die schnelle Antwort zu so später Stunde.
Ich werde mich dann morgen früh an deiner Beweisidee versuchen und mich dann wieder bei dir melden.
Also nochmals vielen Dank und gute Nacht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:26 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass in einem normierten Raum (X,||.||) stets
>
> [mm]\overline{B_{r}(x_{0})}=\overline{\left\{{x\in\empty X : ||x-x_{0}||
>
> für [mm]x_{0}\in\empty[/mm] X, r>0 gilt.
> Kann mir bitte einer helfen?
hier kann man eigentlich ziemlich elementar vorgehen.
1. Beweisteil:
[mm] $B_r(x_0) \subseteq K_r(x_0)$ [/mm] ist eine Banalität (wenn $a < b$, so ist insbesondere $a < b$ oder $a=b$, d.h. aus $a < b$ folgt stets $a [mm] \le [/mm] b$), und damit folgt insbesondere direkt wegen [mm] $K_r(x_0)=\overline{K_r(x_0)}$ [/mm] (letzteres kann man zeigen, indem man zeigt, dass [mm] $K_r(x_0)$ [/mm] abgeschlossen ist, also jede in $X$ konvergente Folge aus [mm] $K_r(x_0)$ [/mm] die Eigenschaft hat, dass deren Grenzert auch in [mm] $K_r(x_0)$ [/mm] liegt)
[mm] $\overline{B_r(x_0)} \subseteq \overline{K_r(x_0)}=K_r(x_0)$.
[/mm]
2. Beweisteil:
Um [mm] $K_r(x_0) \subseteq \overline{B_r(x_0)}$ [/mm] zu zeigen:
Ist $x [mm] \in K_r(x_0)$, [/mm] so gilt entweder [mm] $||x-x_0|| [/mm] < r$ oder [mm] $||x-x_0||=r$. [/mm] Im Falle [mm] $||x-x_0|| [/mm] < r$ ist insbesondere $x [mm] \in B_r(x_0)\subseteq \overline{B_r(x_0)}$.
[/mm]
Ist andererseits [mm] $||x-x_0||=r$, [/mm] so hast Du nur zu begründen, dass eine Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in [mm] $B_r(x_0)$ [/mm] existiert mit [mm] $x_n \to [/mm] x$.
Wie macht man das? [mm] $x_n:=x_0+\left(1-\frac{1}{n}\right)*(x-x_0)$ [/mm] sollte es tun.
(Begründe: Es sind alle [mm] $x_n \in B_r(x_0)$, [/mm] d.h. es gilt stets [mm] $||x_n-x_0|| [/mm] < r$ sowie [mm] $x_n \to [/mm] x$, d.h. begründe: [mm] $||x_n-x|| \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$.)
[/mm]
Warum genügt das alles? Der normierte Raum $(X,||.||)$ oben induziert insbesondere einen metrischen ($(X,d)$ mit $d(x,y):=||y-x||$) und die benutzten Aussagen sollte Dir im metrischen Raum geläufig sein.
Noch zu der letzten Aussage:
Ist $x [mm] \in K_r(x_0)$ [/mm] (und damit insbesondere $x [mm] \in [/mm] X$) mit [mm] $||x-x_0||=r$, [/mm] so haben wir oben gesehen, dass eine Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in [mm] $B_r(x_0) \subseteq \overline{B_r(x_0)}$ [/mm] existiert, die gegen $x$ konvergiert, d.h. [mm] $x_n \to [/mm] x$ (im Sinne von [mm] $||x_n-x|| \to [/mm] 0$). Weil [mm] $\overline{B_r(x_0)}$ [/mm] abgeschlossen ist, folgt für [mm] $x=\lim_{n \to \infty}x_n$, [/mm] dass $x [mm] \in \overline{B_r(x_0)}$. [/mm]
Also:
Gezeigt wurde oben im zweiten Beweisteil:
a) $x [mm] \in K_r(x_0)$ [/mm] mit [mm] $||x-x_0|| [/mm] < r$ liefert $x [mm] \in B_r(x_0)\subseteq \overline{B_r(x_0)}$
[/mm]
b) $x [mm] \in K_r(x_0)$ [/mm] mit [mm] $||x-x_0|| [/mm] = r$ liefert auch $x [mm] \in \overline{B_r(x_0)}$ [/mm]
Konsequenz:
Es gilt auch [mm] $K_r(x_0) \subseteq \overline{B_r(x_0)}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Fr 25.04.2008 | | Autor: | DerGraf |
Wie komme ich auf die Folge:
$ [mm] x_n:=x_0+\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot{}(x-x_0) [/mm] $ ?
Kann ich mir eine beliebige wählen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wie komme ich auf die Folge:
> [mm]x_n:=x_0+\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot{}(x-x_0)[/mm] ?
> Kann ich mir eine beliebige wählen?
nein. Wenn Du Dir das im [mm] $\IR^n$ [/mm] veranschaulichst, liegen alle diese Punkte auf der Strecke von [mm] $x_0$ [/mm] nach $x$ und mit wachsendem $n$ nähert man sich entlang dieser Strecke beliebig nahe an $x$, ohne $x$ zu erreichen. Man könnte oben [mm] $\left(1-\frac{1}{n}\right)$ [/mm] mit beliebigen [mm] $y_n$, [/mm] sofern z.B. $0 [mm] \le y_n [/mm] < 1$ gilt und zudem [mm] $y_n \to [/mm] 1$ bei $n [mm] \to \infty$, [/mm] ersetzen.
(Man könnte das ganze sogar noch allgemeiner halten, aber die Wahl der [mm] $y_n$ [/mm] mit diesen Eigenschaften allein ist meiner Ansicht nach hier schon allgemein genug.)
Vielleicht mal' Dir mal ein Bildchen im [mm] $\IR^2$, [/mm] wenn Du dort [mm] $x_0=(2,4)$ [/mm] und z.B. $r=3$ wählst. Dann wähle mal ein $x$ mit [mm] $||x-x_0||_2=r=3$ ($||.||_2$="gewöhnliche" [/mm] euklidische Norm des [mm] $\IR^2$), [/mm] verbinde die Punkte [mm] $x_0=(2,4)$ [/mm] und $x$ und guck' Dir an, wo die [mm] $x_n$ [/mm] von oben dann auf dieser Verbindungsstrecke liegen.
Wenn Du ein wenig Ahnung von Geraden bzw. Streckenzügen in allgemeinen Vektorräumen hast (wobei Du dafür eigentlich nur Ahnung von Geraden bzw. Streckenzügen im [mm] $\IR^n$ [/mm] haben musst), sollte Dir dann klar sein, wie ich auf die Wahl der Folge [mm] $x_n$ [/mm] oben gekommen bin.
Übrigens:
Warum klappt das hier mit der Wahl dieser [mm] $x_n$, [/mm] um damit dann zu zeigen, dass [mm] $K_r(x_0) \subseteq \overline{B_r(x_0)}$?
[/mm]
Und warum kann man das bei allg. metrischen Räumen nicht analog machen?
(Wichtig dabei, ist sich klarzumachen, dass insbesondere gilt: [mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN$: $x_n \in [/mm] X$.)
(Tipp: Denke dazu wieder an die diskrete Metrik, dann siehst Du (abgesehen von der "Wohldefiniertheit" der obigen Folge, die nicht klar wäre), dass auch etwas anderes schiefgeht, wenn Du einfach davon ausgingest, dass diese [mm] $x_n \in [/mm] X$ liegen würden (also selbst, wenn $(X,d)$ mit irgendeiner nichtleeren Menge $X$ und der diskreten Metrik $d$ ist, und wenn die oben definierten [mm] $x_n \in [/mm] X$ wären (also vll. gar, wenn $X$ nur ein Vektorraum (also nicht notwendig normiert) ist, macht das ganze ja auch Sinn), geht noch was schief). Der Abstand [mm] $d(x_n,x)$, [/mm] wenn $d$ die diskrete Metrik wäre, wäre dann konstant $=$?)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 Fr 25.04.2008 | | Autor: | DerGraf |
Vielen Dank für deine Mühe. Ich wünschte, unsere Vorlesungen wären auch mal so anschaulich :)
LG DerGraf
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