Notation einer Abbildung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 Fr 04.11.2011 | | Autor: | huzein |
| Aufgabe | Sei [mm] \IK=\IR [/mm] oder [mm] \IK=\IC. [/mm] Für [mm] z,w\in \IK^{n+1} [/mm] setzen wir [mm] :=\sum\limits_{k=1}^{n+1} z_k\overline{w}_k. [/mm] Wir betrachten
[mm] f:\IK P^n\to End(\IK^{n+1})\cong \IK^{(n+1)^2},
[/mm]
gegeben durch
[mm] (\ast) f([y]):v\mapsto\dfrac{}{}y
[/mm]
für alle [mm] y\in \IK^{n+1}\setminus\{0\} [/mm] und [mm] v\in \IK^{n+1}.... [/mm] |
Meine Frage ist nun die Folgende. [mm] \IK P^n [/mm] ist der projektive Raum, definiert vermöge [mm] \IK P^n:=(\IK^{n+1}\setminus\{0\})/\sim. [/mm] Die elemente sind also Äquivalenzklassen.
Bei [mm] (\ast) [/mm] wird jedoch einem [mm] v\in \IK^{n+1} [/mm] ein Wert zugeordnet und die Äquivalenzklasse [mm] [y]\in\IK P^n [/mm] scheint gegeben zu sein.
Oder wie ist diese Notation zu lesen?! Wäre super wenn mir jemand einen Tipp geben könnte, wie diese Schreibweise zu verstehen ist.
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Sei [mm]\IK=\IR[/mm] oder [mm]\IK=\IC.[/mm] Für [mm]z,w\in \IK^{n+1}[/mm] setzen wir
> [mm]:=\sum\limits_{k=1}^{n+1} z_k\overline{w}_k.[/mm] Wir
> betrachten
>
> [mm]f:\IK P^n\to End(\IK^{n+1})\cong \IK^{(n+1)^2},[/mm]
>
> gegeben durch
>
> [mm](\ast) f([y]):v\mapsto\dfrac{}{}y[/mm]
>
> für alle [mm]y\in \IK^{n+1}\setminus\{0\}[/mm] und [mm]v\in \IK^{n+1}....[/mm]
>
> Meine Frage ist nun die Folgende. [mm]\IK P^n[/mm] ist der
> projektive Raum, definiert vermöge [mm]\IK P^n:=(\IK^{n+1}\setminus\{0\})/\sim.[/mm]
> Die elemente sind also Äquivalenzklassen.
>
> Bei [mm](\ast)[/mm] wird jedoch einem [mm]v\in \IK^{n+1}[/mm] ein Wert
> zugeordnet und die Äquivalenzklasse [mm][y]\in\IK P^n[/mm] scheint
> gegeben zu sein.
>
> Oder wie ist diese Notation zu lesen?! Wäre super wenn mir
> jemand einen Tipp geben könnte, wie diese Schreibweise zu
> verstehen ist.
>
> Grüße
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Wegen dem <y,y> im Nenner hängt f([y])(v) nur von der Äquivalenzklasse von y ab, d.h. jedem
[mm] v\in\IK^{n+1} [/mm] und jedem [mm] y\in\IK P^n [/mm] wird ein Wert f([y])(v) in [mm] \IK^{n+1} [/mm] zugeordnet.
Für festgehaltenes y ist also eine Abbildung [mm] \IK^{n+1}\to\IK^{n+1}, v\mapsto [/mm] f([y])(v) definiert, die nach Konstruktion linear ist.
In Abhängigkeit von y ergibt damit also eine Zuordnung, die der Äquivalenzklasse [y] einen Endormorphismus von [mm] \IK^{n+1} [/mm] zuordnet,
also eine Abbildung [mm] f:\IK P^n\to End(\IK^{n+1})
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 So 06.11.2011 | | Autor: | huzein |
| Aufgabe | | i. Zeigen Sie, dass die Abbildung $f$ glatt und injektiv ist. |
> Wegen dem <y,y> im Nenner hängt f([y])(v) nur von der Äquivalenzklasse von y ab
weshalb ist der Nenner entscheidend? Das ist mir nicht ganz klar!
Und wenn ich jetzt ein [mm] [y]\in\IK P^n [/mm] festhalte, sind dann die $v$ aus [mm] $[y]=\{w\in\IK^{n+1}\setminus\{0\}:y\sim w\}$, [/mm] oder beliebig aus ganz [mm] \IK^{n+1} [/mm] ?
Ansonsten habe ich die Notation soweit verstanden denk ich. Nun zur Aufgabe. Es soll die Glattheit und Injektivität von $f$ nachgewiesen werden.
Zur Injektivität: Nehme ich mir jetzt zwei Äquivalenzklassen [mm] $[y],[y']\in\IK P^n$ [/mm] und zeige, dass aus $f([y])=f([y'])$ folgt $[y]=[y']$, oder halte ich eine Äquivalenzklasse fest und wähle dazu zwei [mm] $v,v'\in\IK^{n+1}$ [/mm] und zeige die Implikation
[mm] $f([y])(v)=f([y])(v')\implies [/mm] v=v'$ ?
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> i. Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm]f[/mm] glatt und injektiv
> ist.
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> > Wegen dem <y,y> im Nenner hängt f([y])(v) nur von der
> Äquivalenzklasse von y ab
>
> weshalb ist der Nenner entscheidend? Das ist mir nicht ganz
> klar!
Dadurch ändert sich das Ergebnis nicht, wenn y durch ein w aus der selben Äquivalenzklasse ersetzt wird.
Nur so ist eine Abbildung mit Definitionsbereich [mm] \IK P^n [/mm] wohldefiniert.
> Und wenn ich jetzt ein [mm][y]\in\IK P^n[/mm] festhalte, sind dann
> die [mm]v[/mm] aus [mm][y]=\{w\in\IK^{n+1}\setminus\{0\}:y\sim w\}[/mm], oder
> beliebig aus ganz [mm]\IK^{n+1}[/mm] ?
>
v ist beliebig aus [mm] \IK^{n+1}, [/mm] da ja f([y]) eine Abbildung [mm] \IK^{n+1}\to\IK^{n+1} [/mm] ist
> Ansonsten habe ich die Notation soweit verstanden denk ich.
> Nun zur Aufgabe. Es soll die Glattheit und Injektivität
> von [mm]f[/mm] nachgewiesen werden.
>
> Zur Injektivität: Nehme ich mir jetzt zwei
> Äquivalenzklassen [mm][y],[y']\in\\IK P^n[/mm] und zeige, dass aus
> [mm]f([y])=f([y'])[/mm] folgt [mm][y]=[y'][/mm], oder halte ich eine
> Äquivalenzklasse fest und wähle dazu zwei
> [mm]v,v'\in\IK^{n+1}[/mm] und zeige die Implikation
> [mm]f([y])(v)=f([y])(v')\implies v=v'[/mm] ?
Ersteres, denn zu zeigen ist (zumindest verstehe ich das so), dass f als Abbildung von [mm] \IK P^n [/mm] nach [mm] End(\IK^{n+1}) [/mm] injektiv ist.
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