Notwendig bzw. hinreichend < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
habe folgende Reihe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k*ln*(\bruch{1}{k}+1)}.
[/mm]
Nach umformen erhalte ich : [mm] \bruch{1}{ln*e} [/mm] ist gleich 1.
Nun die frage. Ein notwendiges Kriterium besagt ist der GW ungleich 0 dann ist die Reihe divergent.
Andererseits habe ich mit 1 einen festen GW nicht wie ZB pi.
Da dachte ich hat man eine konvergente Reihe. Bin da jetzt bissl verwirrt.
Bitte um hilfe.
Habe diese frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo tunetemptation!
Vorneweg: der Multiplikationspunkt hinter dem [mm] $\ln$ [/mm] hat dort nichts verloren!
Da [mm] $\bruch{1}{k*\ln\left(\bruch{1}{k}+1\right)}$ [/mm] keine Nullfolge ist (und es würde schon ausreichen, wenn der Grenzwert nur [mm] $\bruch{1}{1.000.000} [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ wäre), ist die Reihe divergent.
Gruß vom
Roadrunner
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O ja war nicht absicht mit dem Punkt.
d.h. allgemein wenn ich eine Reihe habe und als GW kommt ein fester Wert heraus sagt mir das Garnichts ?
Dachte immer das zb reihen die nach umformen kein fester Wert heraus kommt diese konvergent sind ???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Do 02.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Was hat dein "umformen und lne=1 mit der Reihe zu tun?
2. Wenn eine Reihe konvergieren soll ist das erste , was man nchprueft, ob die summanden eine Nulfolge bilden. Ist das nicht der Fal divergiert sie sicher. hat man eine Nullfolge, muss man weiter untersuchen.
Deine Ausdrucksweise "als GW kommt ein fester Wert raus" ist so falsch.
Du musst den GW der Summanden [mm] a_n [/mm] ansehen, der ist was voellig anderes als der GW der Summe [mm] S_n=\summe_{i=1}^{n}a_n
[/mm]
Ueberleg mal, warum eine Reihe divergieren MUSS, wenn alle Summanden ab einem n groesser als irgend ein fester Wert sind.
Die Reihe divergiert dnn sicher. Den GW der [mm] a_n [/mm] brauchst du dazu nicht unbedingt, aber wenn der >0 ist dann heisst das ja, dass alle glieder ab irgendeinem n groesser als ne feste Zahl r sind.
Gruss leduart
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Aha okay.
Da ln e =1 ist der Grenzwert der an. Das sagt mir da diese nich null ist die Reihe divergent ist. Der GW der Reihe ist dann doch 1- (in die reihe für k 0 eingesetzt, was ja nicht geht da nicht 0 im Nenner stehen darf) oder bestimme ich sonst den GW ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 Do 02.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
> Aha okay.
> Da ln e =1 ist der Grenzwert der an. Das sagt mir da diese
> nich null ist die Reihe divergent ist. Der GW der Reihe ist
> dann doch 1- (in die reihe für k 0 eingesetzt, was ja
> nicht geht da nicht 0 im Nenner stehen darf) oder bestimme
> ich sonst den GW ?
Du schmeißt da einiges durcheinander. Du hast hier die Reihe
$$\sum_{k=1}^\infty \underbrace{\frac{1}{k*\ln\left(\frac{1}{k}+1\right)}}_{=:a_k}}\,,$$
also die Folge der Teilsummen
$$(s_n)_{n \in \IN}:\equiv\Big(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k*\ln\left(\frac{1}{k}+1\right)}\Big)_{n \in \IN}\equiv\big(\sum_{k=1}^n a_k\big)_{n \in \IN}$$
auf Konvergenz zu untersuchen. Es ist also die Frage, ob
$$\lim_{n \to \infty} s_n=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k$$
existiert
$\text{(}$ und im Falle der Existenz schreibt man dann auch $$\sum_{k=1}^\infty a_k:=\lim_{n \to \infty} \underbrace{\sum_{k=1}^n a_k}_{=s_n}\text{)}\,.$$
(Wir schreiben kurz $(s_n)_n$ für $(s_n)_{n \in \IN}$ etc.)
Nach dem "Trivialkriterium" weißt Du:
Wenn die Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$, also die Folge $(s_n)_n$ der Teilsummen (mit $s_n=\sum_{k=1}^n a_k$ für jedes $n \in \IN$), konvergiert, dann bildet die Folge $(a_k)_k$ eine Nullfolge. Wegen der Kontraposition ist das äquivalent zu:
Wenn $a_k \not\to 0$ ($k \to \infty$), dann ist die Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$ (genauer: die obige Folge der Teilsummen $(s_n)_n$) divergent.
Du erkennst bei Dir nun:
Es ist $a_k=\frac{1}{k*\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)^k}\,.$ Daraus ergibt sich wegen der Stetigkeit von $x \mapsto 1/x$ und $x \mapsto \ln(x)$ und der (verkürzt gesagt:) "Rechenregel $b*\ln(a)=\ln(a^b)$" und weil $\left(1+\frac{1}{k}\right)^k \to e$ bei $k \to \infty$, dass
$$\lim_{k \to \infty} a_k=\lim_{k \to \infty} \frac{1}{\ln\left(\Big(1+\frac{1}{k}\Big)^k\right)}=\frac{1}{\lim\limits_{k \to \infty} \ln\left(\Big(1+\frac{1}{k}\Big)^k\right)}=\frac{1}{\ln\left(\lim\limits_{k \to \infty} \Big(1+\frac{1}{k}\Big)^k\right)}=\frac{1}{\ln(e)}=\frac{1}{1}=1 \not=0\,.$$
Wegen $a_k \not\to 0$ konvergiert damit Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$ (genauer: die Folge der Teilsummen $(s_n)_n$) nicht - wobei hier speziell $a_k=\frac{1}{k*\ln(1+(1/k))}$ ($k \in \IN$ ist).
Weil die Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$ (also die Folge der Teilsummen $(s_n)_n$) nicht konvergiert, macht es keinen Sinn, vom Reihenwert $\sum_{k=1}^\infty a_k=\lim_{n \to \infty} s_n=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k$ zu sprechen. Dieser existiert ja gar nicht.
Du musst also unterscheiden, wie Du folgendes aufzufassen hast:
$\bullet$ Steht $\sum_{k=1}^{\infty} a_k $ für die Folge der Teilsummen $(s_n)_n$ (mit $s_n=\sum_{k=1}^n a_k$ ($k \in \IN$))?
$\bullet$ Falls diese Folge $(s_n)_n$ konvergiert, dann kann $\sum_{k=1}^\infty a_k$ zwei Bedeutungen haben:
1.) S.o., $\sum_{k=1}^\infty a_k$ steht nur abkürzend für $(s_n)_n$
2.) $\sum_{k=1}^\infty a_k$ steht für den Reihenwert, also $\sum_{k=1}^\infty a_k=\lim_{n \to \infty} s_n\,.$ Hier ergibt sich eigentlich immer aus dem Zusammenhang, welche Bedeutung $\sum_{k=1}^\infty a_k$ hat (btw.: schau' insbesondere mal in Definition 6.2, nach den drei Ausrufezeichen ![[]](/images/popup.gif) aus diesem Skript rein!)
Also nochmal:
Bei Deiner Aufgabe: Der Reihenwert [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] (im Sinne von [mm] $\lim_{n \to \infty}s_n$) [/mm] existiert nicht. Denn:
Die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] (also die Folge der Teilsummen [mm] $(s_n)_n$) [/mm] konvergiert nicht, weil die Folge der Summanden [mm] $(a_k)_k$ [/mm] keine Nullfolge bildet. Wenn [mm] $(s_n)_n$ [/mm] aber nicht konvergiert, dann kannst Du natürlich auch nicht [mm] $\lim_{n \to \infty}s_n$ [/mm] berechnen!
Gruß,
Marcel
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Wow, danke für deine Bemühung.
ALso kann ich sagen das der GW der hier 1 ist der GW der ak ist und nicht der der Reihe.
Wenn die reihe allerdings konvergieren sollte ( nehmen wir mal an der GW der ak ist 0 ) dann wäre 0 auch der GW der Reihe. Oder ???
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Hallo tunetemptation,
> Wow, danke für deine Bemühung.
> ALso kann ich sagen das der GW der hier 1 ist der GW der
> ak ist und nicht der der Reihe. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn die reihe allerdings konvergieren sollte ( nehmen wir mal an also ist der GW der ak ist 0 )
Das muss so sein, wenn die [mm] $(a_k)_{k\in\IN}$ [/mm] nicht gegen 0 konvergierten, so wäre die Reihe auch nicht konvergent!
> dann wäre 0 auch der GW der
> Reihe. Oder ??? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Der Reihenwert, also der [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^{n}a_k [/mm] \ [mm] \left(\text{bei Existenz auch notiert als} \ \sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k\right)$ [/mm] hat nix mit dem Grenzwert der Folge [mm] $(a_k)_{k\in\IN}$ [/mm] zu tun ...
einfaches Gegenbsp. ist die folgende geometrische Reihe:
[mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^k$
[/mm]
Die Folge [mm] $(a_k)_{k\in\IN}=\left[\left(\frac{1}{2}\right)^k\right]_{k\in\IN}$ [/mm] strebt offensichtlich für [mm] $k\to\infty$ [/mm] gegen 0, der Reihenwert ist aber
[mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^k=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^k=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2\neq [/mm] 0$
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Do 02.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wow, danke für deine Bemühung.
> ALso kann ich sagen das der GW der hier 1 ist der GW der
> ak ist und nicht der der Reihe.
> Wenn die reihe allerdings konvergieren sollte ( nehmen wir
> mal an der GW der ak ist 0 ) dann wäre 0 auch der GW der
> Reihe. Oder ???
nur mal der Ergänzung wegen:
Wenn [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] konvergiert, dann folgt, dass auch [mm] $a_k \to 0\,.$ [/mm] Wegen der Kontraposition (($A [mm] \Rightarrow [/mm] B$) [mm] $\gdw$ $((\neg [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\neg [/mm] A))$) ist das äquivalent zu [mm] $a_k \not\to [/mm] 0$ [mm] $\Rightarrow$ $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] divergiert (dabei beachte: [mm] $a_k \not\to [/mm] 0$ bedeutet, dass die Folge [mm] $(a_k)_k$ [/mm] divergiert oder dass die Folge [mm] $(a_k)_k$ [/mm] gegen einen Wert [mm] $\not=0$ [/mm] konvergiert).
Wenn Du voraussetzt, dass [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] konvergieren sollte, dann muss notwendigerweise [mm] $a_k \to [/mm] 0$ gelten.
Wenn Du aber nur [mm] $a_k \to [/mm] 0$ hast (entweder vorausgesetzt oder nachgerechnet), dann weißt Du noch nicht, ob [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] konvergiert - das kann dann sein oder auch eben nicht. Grob gesagt muss [mm] $(a_k)_k$ [/mm] "schnell genug gegen [mm] $0\,$" [/mm] konvergieren, um die Konvergenz der Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] zu gewährleisten; nur dieses "schnell genug" ist natürlich nichts, was ich nun mathematisch präzise erfasst habe, sondern eher "umgangssprachlich".
Beispiele:
1.) Obwohl [mm] $a_k\,=1/k$ [/mm] ($k [mm] \in \IN$) [/mm] erfüllt [mm] $a_k \to 0\,,$ [/mm] divergiert die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}$ [/mm] bestimmt gegen [mm] $\infty\,.$
[/mm]
[mm] ($(a_k)_k$ [/mm] strebt also anscheinend "nicht schnell genug gegen [mm] $0\,$".)
[/mm]
2.) Mit [mm] $a_k=1/k^2$ [/mm] ($k [mm] \in \IN$) [/mm] gilt [mm] $a_k \to [/mm] 0$ und es konvergiert [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}$ [/mm] (Das Majorantenkriterium (nach einem kleinen Trick und Vergleich mit einer Ziehharmonikareihe) oder der Cauchysche Verdichtungssatz liefern das.)
Beachte also:
[mm] $\bullet$ $a_k \not\to [/mm] 0$ liefert Dir, dass [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] divergiert.
[mm] $\bullet$ $a_k \to [/mm] 0$ liefert Dir (alleine) noch keine Aussage, ob die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] konvergiert oder eben nicht.
P.S.:
Beachte bei der Kontraposition:
$$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$$
[mm] $$\gdw$$
[/mm]
[mm] $$(\neg \blue{B}) \Rightarrow (\neg \blue{A})\,.$$
[/mm]
Dort steht nicht:
$$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$$
[mm] $$\gdw$$
[/mm]
[mm] $$(\neg \red{A}) \Rightarrow (\neg \red{B})\,.$$
[/mm]
Und nur noch eine kleine, ergänzende Überlegung:
Wenn man aus [mm] $a_k \to [/mm] 0$ schon folgern könnte, dass [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k=0$ [/mm] ist (wobei Schachuzipus ja schon anhand eines Beispiels erklärt hatte, dass dem gar nicht so sein kann), dann wäre die Untersuchung des Konvergenzverhaltens von Reihen und die Berechnung von Reihenwerten ja eine banale Geschichte 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 Do 02.07.2009 | | Autor: | Marcel |
P.S.:
Bei
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty \underbrace{\;\frac{1}{k*\ln\left(\bruch{1}{k}+1\right)}\;}_{=a_k}$$
[/mm]
kannst Du übrigens auch ergänzen, dass diese Reihe bestimmt gegen [mm] $\infty$ [/mm] divergiert. Denn:
Wegen [mm] $a_k \to [/mm] 1$ gibt es ein [mm] $N_0 \in \IN$, [/mm] so dass [mm] $a_k \ge [/mm] 1/2$ für alle $k > [mm] N_0\,.$ [/mm] Dann folgt für jedes $N > [mm] N_0$:
[/mm]
[mm] $$\sum_{k=1}^N a_k=\sum_{k=1}^{N_0} a_k+\sum_{k=N_0+1}^N a_k=\underbrace{\;\sum_{k=1}^{N_0} a_k\;}_{\substack{=r\\(\text{feste reelle Zahl})}}+\sum_{k=N_0+1}^N a_k \ge r+(N-N_0) *\frac{1}{2} \to \infty\;\;\text{ bei }\;\; [/mm] N [mm] \to \infty\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Okay,danke schonmal
Habe noch ein BSP ob ich das jetzt richtig verstanden habe :
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{5}{6})^k*\bruch{(k-2)}{(k+2)}.
[/mm]
Nun schau ich mir den [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] für ak an.
Komme mittels Quotientenkrit. auf [mm] \bruch{5}{6}.
[/mm]
Ist dann der GW der Reihe [mm] \bruch{5}{6} [/mm] oder für k =0 eingesetzt ergibt -1:
[mm] \bruch{5}{6} [/mm] -(-1) = [mm] 1\bruch{5}{6}. [/mm] Oder ganz was anderes ? Und was mach ich wenn ich für K=0 nicht einsetzen darf da der Nenner sonst 0 wäre ???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Do 02.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Okay,danke schonmal
>
> Habe noch ein BSP ob ich das jetzt richtig verstanden habe
> :
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{5}{6})^k*\bruch{(k-2)}{(k+2)}.[/mm]
> Nun schau ich mir den [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] für ak
> an.
> Komme mittels Quotientenkrit. auf [mm]\bruch{5}{6}.[/mm]
Es gilt also mit [mm] $a_k=\left(\frac{5}{6}\right)^k*\frac{k-2}{k+2}$ [/mm] ($k [mm] \in \IN$), [/mm] dass
[mm] $$\limsup_{k \to \infty} \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{5}{6} [/mm] < [mm] 1\,.$$
[/mm]
> Ist dann der GW der Reihe [mm]\bruch{5}{6}[/mm]
Wieso?
> oder für k =0
> eingesetzt ergibt -1:
> [mm]\bruch{5}{6}[/mm] -(-1) = [mm]1\bruch{5}{6}.[/mm] Oder ganz was anderes
> ? Und was mach ich wenn ich für K=0 nicht einsetzen darf
> da der Nenner sonst 0 wäre ???
Hier versteh' ich gar nicht mehr, worum es geht und was Du da machst bzw. nach welchem System Du da "rätst"; und wieso Du hier überhaupt [mm] $k\,=0$ [/mm] benutzen willst?!
Es ist so:
Nach dem Quotientenkriterium gilt hier wegen [mm] $\limsup_{k \to \infty} \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| [/mm] < [mm] 1\,,$ [/mm] dass die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] (also die entsprechende Folge der zugehörigen Teilsummen [mm] $(s_n)_n$) [/mm] konvergiert.
(Das Quotientenkriterium liefert Dir keine Aussage über den genauen Reihenwert, es liefert Dir nur eine Aussage, ob eine Reihe (also die zugehörige Folge ihrer Teilsummen) konvergiert oder divergiert (und manchmal auch keine Aussage, wenn [mm] $\limsup_{k \to \infty}\left|\bruch{a_{k+1}}{a_k}\right|=1$); [/mm] sofern [mm] $\limsup_{k \to \infty}\left|\bruch{a_{k+1}}{a_k}\right|=1$ [/mm] existiert.)
Der Reihenwert [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] (im Sinne von [mm] $\lim_{n \to \infty}s_n$) [/mm] läßt sich nicht so leicht berechnen (vll. geht es mit entsprechenden Umformungen und "reinbasteln" einer Ziehharmonikareihe, aber ich hab' mir das nicht weiter überlegt). Ich kann mir auch nicht vorstellen, dass Du diesen berechnen sollst. Du sollst doch sicher nur die Frage beantworten, ob (die Dir) vorgelegte(n) Reihe(n) [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] konvergiern oder divergieren?
(Bei der oben vorliegenden Reihe kann man aber den Reihenwert "eingrenzen", also z.B. ein "entsprechend kleines" Intervall angeben, indem der Reihenwert liegen muss.
Btw.: Bei vielen Reihen ist man schon froh, wenn man überhaupt weiß, ob sie konvergieren oder nicht. Und bei sehr vielen Reihen kennt man den genauen Reihenwert nicht. Die Berechnung von Reihenwerten ist oft eine "eigene Disziplin", in der Fourieranalysis bekommt man da z.B. auch interessantes Handwerkszeugs, um wenigstens einige in den Griff zu bekommen. Z.B. kann man dann [mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$ [/mm] beweisen.)
Oder steht da auch zusätzlich: "... und berechnen sie im Falle der Konvergenz auch den Reihenwert!" oder sowas?
Gruß,
Marcel
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Aha,
dachte ich ziehe für k=0 ab weil bei der Geo reihe macht man es ja auch so um den GW zu ermitteln.
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dachte ich ziehe für k=0 ab weil bei der Geo reihe macht man es ja auch so um den GW zu ermitteln ?
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Hallo nochmal,
> dachte ich ziehe für k=0 ab weil bei der Geo reihe macht
> man es ja auch so um den GW zu ermitteln ?
Sag mal, liest du dir die Antworten auch durch, die die Helfer dir hier im Schweiße ihrer Angesichter zukommen lassen?
Nochmal:
Die Konvergenzkriterien sagen dir nur, OB eine Reihe konvergent oder divergent ist, aber NICHTS über den Reihenwert aus!
Aber wenn du den GW einer Reihe (oder besser Reihenwert), die von $k=0$ bis [mm] $k=\infty$ [/mm] läuft, kennst (!) und dieselbe Reihe vor dir hast, die aber erst bei $k=10$ losläuft, so kannst du natürlich von dem bekannten Reihenwert (ab k=0) die ersten 11 Summanden, also die für k=0, k=1, .., k=10 abziehen.
Aber das ist ne ganz andere Sache.
LG
schachuzipus
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Jetzt ist alles klar. Vielen vielen dank
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