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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:50 Do 30.10.2008 | | Autor: | moody |
| Aufgabe | [mm] f_{k}(x) [/mm] = [mm] \bruch{t^2 x^2 - 1}{x^2 + 1}
[/mm]
Wann sind die Nullstellen gleichzeitig Wendestellen? |
2. Ableitung ist: [mm] \bruch{-6t^2x^2 - 6x^2 + 2t^2 +2}{(x^2 + 1)^3}
[/mm]
Ich habe raus:
Nullstellen bei: [mm] x^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{t^2}
[/mm]
Wendestellen bei: [mm] x^2 [/mm] = [mm] \bruch{2t^2 + 2}{-6t^2 - 6}
[/mm]
Und wenn man das gleichsetzt, bekomme ich es nicht nach t aufgelöst. Wäre nett wenn mir jemand da helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:53 Do 30.10.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo moody,
> [mm]f_{k}(x)[/mm] = [mm]\bruch{t^2 x^2 - 1}{x^2 + 1}[/mm]
>
> Wann sind die Nullstellen gleichzeitig Wendestellen?
> 2. Ableitung ist: [mm]\bruch{-6t^2x^2 - 6x^2 + 2t^2 +2}{(x^2 + 1)^3}[/mm]
>
>
> Ich habe raus:
>
> Nullstellen bei: [mm]x^2[/mm] = [mm]\bruch{1}{t^2}[/mm]
>
> Wendestellen bei: [mm]x^2[/mm] = [mm]\bruch{2t^2 + 2}{-6t^2 - 6}[/mm]
>
> Und wenn man das gleichsetzt, bekomme ich es nicht nach t
> aufgelöst. Wäre nett wenn mir jemand da helfen könnte.
Das Gleichsetzen ist viel zu kompliziert 
Du musst doch nur überprüfen, welche Nullstellen auch Wendestellen sind bzw. alternativ welche Wendestellen auch Nullstellen sind, je nachdem, was einfacher ist.
Viele Grüße,
Marc
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Ich verstehe die Frage so wie Du: "WANN tritt das ein" fragt nach entsprechenden Werten von t.
Glücklicherweise taucht aber überall nur [mm] t^{2} [/mm] auf. Wenn Du das mit z.B. u ersetzt/substituierst, reduziert sich Deine Gleichung vierten Grades in t auf eine zweiten Grades in u.
- und das ist dann ein leicht lösbares Problem.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Do 30.10.2008 | | Autor: | moody |
Mir kam noch eine andere Idee (mit dem Substituieren blieb ich bei [mm] x^2 [/mm] + 4x + 3 = 0 hängen..)
[mm] t^2 [/mm] = x
Man kürzt [mm] \bruch{2x + 2}{-6x - 6} [/mm] einfach zu [mm] \bruch{-1}{3}
[/mm]
Dann kommt man auf [mm] \bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{3}
[/mm]
also x = -3
=> -3 = [mm] t^2
[/mm]
Somit lässt sich das also gar nicht auflösen?
Sprich das tritt gar nicht ein?
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Doch, das lässt sich lösen.
Deine zweite Ableitung ist richtig, Deine Nullstellen von f auch. Die Nullstellen von f'' könntest Du nochmal nachrechnen, bevor Du irgendwas gleichsetzt.
Du hast [mm] \bruch{-6t^{2}x^{2}-6x^{2}+2t^{2}+2}{(x^{2}+1)^{3}}
[/mm]
Das lässt sich noch vereinfachen zu [mm] 2(t^{2}+1)\bruch{1-3x^{2}}{(x^{2}+1)^{3}}
[/mm]
Dann sind die Nullstellen von f'' ganz ohne Substituierung leicht zu bestimmen und auch leicht mit den Nullstellen von f gleichzusetzen. Du findest zwei Fälle, nur im Vorzeichen unterschieden. Zur Kontrolle: die dritte bis achte Nachkommastelle (dezimal) lauten 205080.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:48 Do 30.10.2008 | | Autor: | moody |
Sorry, aber so umgeschrieben komme ich da irgendwie auch nicht weiter.
[mm] 2(t^{2}+1) *(1-3x^{2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{t^2}
[/mm]
Dann habe ich ja das x noch da drin?
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Nee, ohne Gleichsetzung lösen.
Es muss gelten: f''=0
Der Nenner wird nie Null, wirft also keine Probleme auf.
Einer der Faktoren [mm] (t^{2}+1) [/mm] und [mm] (1-3x^{2}) [/mm] muss also Null werden, damit die zweite Ableitung Null ist. Der Faktor mit t wird aber nie Null.
Also: [mm] 1-3x^{2}=0 \Rightarrow x^{2}=\bruch{1}{3}
[/mm]
Das setzt Du dann mit den Nullstellen von f gleich, [mm] x^{2}=\bruch{1}{t^{2}}
[/mm]
Daraus ergibt sich dann [mm] t=\pm\wurzel{3}
[/mm]
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