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| Aufgabe | Sei [mm] a_{m} [/mm] := [mm] \begin{cases} \bruch{1}{m}, & \mbox{für } m \mbox{=2k} \\ \bruch{1}{1+2m}, & \mbox{für } m \mbox{=2k+1} \end{cases}
[/mm]
für alle k [mm] \in \IN.
[/mm]
1) Sei a [mm] \in \IR. [/mm] Zeigen sie: Gilt 0 [mm] \le [/mm] a < [mm] a_{m} [/mm] für alle m [mm] \in \IN., [/mm] dann ist a=0
2) Zeigen, sie [mm] a_{m} [/mm] ist eine Nullfolge. |
Hallo,
bei aufgabe 1) habe ich zuerst eine Fallunterscheidung gemacht,
für m gerade gilt: 0 [mm] \le [/mm] a < [mm] \bruch{1}{m}.
[/mm]
und für m ungerade gilt: 0 [mm] \le [/mm] a < [mm] \bruch{1}{1+2m}.
[/mm]
Mein Problem ist jetzt, wie ich weitermachen soll. Also eigentlich ist es ja offensichtlich, dass [mm] \bruch{1}{m} [/mm] und [mm] \bruch{1}{1+2m} [/mm] Nullfolgen sind. Reicht es dann, wenn ich dementsprechend argumentiere?Oder kann man dass auch irgendwie zeigen?
Nächtes Problem wäre dann Aufgabe 2. Wenn man 1) gezeigt hat, kann man doch automatisch 2 daraus schlussfolgern??????
oder habe ich irgendwo einen Denkfehler drin?
Bitte helft mir.
MFG
NAthenatiker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 So 21.05.2006 | | Autor: | FrankM |
Hallo,
leider bin ich mir nicht ganz sicher, was du mit der aufgeschriebenen Reihe meinst. Ich interpretiere sie so:
[mm] a_n=\begin{cases} \bruch{1}{2n}, & \mbox{für } n \mbox{gerade} \\ \bruch{1}{4n+2}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
zu 1) Annahme a>0, also a [mm] \neq [/mm] 0, also gibt es ein [mm] m_0 [/mm] mit [mm] \bruch{1}{m_0}
zu 2) nein du kannst aus 1) noch nicht 2) folgern, z.B. gilt 1) auch für die Folge:
[mm] a_n=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n=1 \\ 1, & \mbox{sonst } \end{cases}.
[/mm]
Der Unterschied zwischen 1) und 2) ist, dass in 1) nur ein Folgenglied gefunden werden muss, dass beliebig klein wird, während du bei 2) zeigen musst, dass die Folge ab einem Glied beliebig klein ist.
Aber du weisst, dass alle [mm] a_n [/mm] positiv sind, und es gilt für alle n [mm] a_n\leq\bruch{1}{n}, [/mm] also ist [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge.
Gruß
Frank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Mo 22.05.2006 | | Autor: | FrankM |
Hallo,
genau, du hast am Ende gezeigt, dass [mm] a_{m_0}
Gruß
Frank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> HAllo,
>
> aber wenn man einen Beweis durch Widerspruch führt, dann
> wiederlegt man doch während seines Beweis die (falsche)
> Annahme. Die sagst jetzt, dass a>0 sein soll, und während
> deines Beweises willst du doch diese Annahme wiederlegen.
> am Ende komst du auf die Aussage, dass [mm]a_{m_0}
> damit wiederlegst du doch deine (falsche) Annahme nicht,
> oder?????
>
> hab ich da jetzt was grundlegendes falsch
> verstanden???????????
> oder steh ich hier nur völlig aufm Schlauch, aber
> eigentlich kann dieser beweis nicht richtig sein.
>
> ich hoffe es kann mal jemand anderes dazu etwas sagen.
Das ist das klassische Beweisprinzip des indirekten Beweises. Angenommen man will eine Behauptung zeigen, hier z.B. das gilt
wenn $0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le a_m$ [/mm] dann folgt $a=0$.
Dann kann man das tun, indem man annimmt, 0<a. Also man lässt die Folgerung (hier a=0) falsch werden, man nimmt aber die gleichen Voraussetzungen an. Im Verlaufe des Beweises kommt aber heraus, dass dann ein [mm] $m_0$ [/mm] existiert, sodass
[mm] $a_m_0 [/mm] < a$. Das verletzt aber die Voraussetzungen. Mit anderen Worten, man zeigt, dass es unter den Voraussetzungen nicht passieren kann, dass der gegenteilige Fall eintritt, ohne dass die Voraussetzungen verletzt werden.
Ist es jetzt etwas verständlicher geworden?
Gruß Micha 
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Hallo,
ok danke für die Antworten,
hab mich irgendwie zusehr auf meiner Meinnung festgesessen,
nächste mal probier ich das ganze mal ein bisschen neutraler
anzugehen.
gruß
n
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