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| Aufgabe | Sei [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine monoton fallende Folge reeller Zahlen mit den Eigenschaften
(i) [mm] a_{n} \ge [/mm] 0 für alle n [mm] \in \IN,
[/mm]
(ii) die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] konvergiert.
Zeigen Sie, dass die Folge [mm] b_{n} [/mm] := [mm] na_{n} [/mm] eine Nullfolge ist. |
Hallo,
hab mal wieder eine Aufgabe, bei der ich nicht weiß, wie beginnen soll.
Ich hoffe es kann mir jemand weiterhelfen.
gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Do 01.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst immer von dem ausgehen, was du weisst:
also schreib die Def. von $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] $ konvergiert gegen S hin.
dann hast du schon fast den Beweis!
Gruss leduart
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also reicht es dann wenn ich schreibe, dass die unendliche reihe nur dann einen Grenzwert hat, wenn die Partialsumme [mm] \summe_{n=0}^{m} [/mm] gegen 0 konvergiert?
folglich muss auch mein [mm] b_{n} \to_{n \to \infty} [/mm] 0 sein
Gruß
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> also reicht es dann wenn ich schreibe, dass die unendliche
> reihe nur dann einen Grenzwert hat, wenn die Partialsumme
> [mm]\summe_{n=0}^{m}[/mm] gegen 0 konvergiert?
Was soll das? Es ist doch [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n:=\lim_{m\to \infty}\sum_{n=0}^m a_n[/mm]
> folglich muss auch mein [mm]b_{n} \to_{n \to \infty}[/mm] 0 sein
Was ist das notwendige Kriterium für die Konvergenz einer Reihe?
Oder vervollständige die Aussage:
Wenn die Reihe [mm]S = \sum_{n=0}^\infty a_n[/mm] konvergiert, dann konvergiert die Folge _________ der __________ für [mm]n\rightarrow \infty[/mm] gegen ________.
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ja ich hab grad selber gemerkt, dass mein beitrag von vorhin verwirrend war.
also noch mal:
Wenn die Reihe $ S = [mm] \sum_{n=0}^\infty a_n [/mm] $ konvergiert, dann konvergiert die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] der [mm] \sum_{n=0}^\infty a_{n} [/mm] für $ [mm] n\rightarrow \infty [/mm] $ gegen 0.
So müsste es doch passen oder hab ich wieder nen fehler drin?
Für meine Aufgabe bedeutet das dann, dass [mm] b_{n} [/mm] eine Nullfolge sein muss, aufgrund der Definition oder?
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> ja ich hab grad selber gemerkt, dass mein beitrag von
> vorhin verwirrend war.
>
> also noch mal:
>
> Wenn die Reihe [mm]S = \sum_{n=0}^\infty a_n[/mm] konvergiert, dann
> konvergiert die Folge [mm](a_{n})[/mm] der [mm]\sum_{n=0}^\infty a_{n}[/mm]
> für [mm]n\rightarrow \infty[/mm] gegen 0.
>
> So müsste es doch passen oder hab ich wieder nen fehler
> drin?
> Für meine Aufgabe bedeutet das dann, dass [mm]b_{n}[/mm] eine
> Nullfolge sein muss, aufgrund der Definition oder?
Das ist nicht ganz so einfach, aus [mm] a_n\to [/mm] 0 folgt noch lange nicht [mm] n*a_n\to [/mm] 0
Ich denke, der Ansatz ist, [mm] $\sum a_n$ [/mm] mit der harmonischen Reihe zu vergleichen.
Du nimmst an, dass [mm] b_n [/mm] keine Nullfolge ist. Dann gibt es ein $c>0$ mit [mm] $a_n\ge c*\frac{1}{n}$ [/mm] für unendlich viele n.
Zusammen mit der Monotonie von [mm] a_n [/mm] müsste sich daraus irgendwie die Divergenz der Reihe [mm] \sum a_n [/mm] zeigen lassen.
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