Nullfolgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Do 01.12.2005 | | Autor: | Niente |
hallo und einen schönen abend,
(a) es sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine Folge mit positiven Folgegliedern. Gibt es eine Konstante c<1 und ein N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \le [/mm] c für n [mm] \ge [/mm] N, so [mm] (a_{n}) [/mm] eine Nullfolge.
Wie muss ich hier genau vorgehen? Ich hab ja gar keine konkrete Folge gegeben, sodass ich beweisen kann, dass beweisen kann, dass der Grenzwert gegen 0 geht und dies für das angegebene N gilt.
(b) Für jedes k [mm] \in \IN [/mm] und jede reelle Zahl b>1 ist [mm] (\bruch{n^{k}}{b^{n}})_{n\ge 1} [/mm] eine Nullfolge.
Hierzu habe ich einfach bewiesen, dass die Folge gegen 0 konvergiert:
[mm] |\bruch{n^{k}}{b^{n}}|\le |\bruch{n^{k}}{b}< \varepsilon [/mm] für alle N < [mm] \wurzel[k]{ b\varepsilon}
[/mm]
geht das? oder was muss ich tun?
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Do 01.12.2005 | | Autor: | saxneat |
Tach Niente!
Leider is der Server ein weinig überbeansprucht hät dir gern nur den Llink zu meiner gestrigen Antwort geschickt.
Da [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}\le [/mm] c<1 ist deine Folge streng monoton fallend und da alle [mm] a_{n} [/mm] positiv sind ist [mm] a_{n} [/mm] auch beschränkt [mm] 0
Nun schaun wir uns mal Die folge der Quotienten ab einem [mm] a_{n_{0}} [/mm] an:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}\le [/mm] c [mm] \Rightarrow a_{n+1}\le c*a_{n}
[/mm]
[mm] \bruch{a_{n+2}}{c*a_{n}}\le\bruch{a_{n+2}}{a_{n+1}}\le [/mm] c [mm] \Rightarrow a_{n+2}\le c^{2}a_{n}
[/mm]
[mm] \bruch{a_{n+n}}{c^{n-1}*a_{n}}\le\bruch{a_{n+n}}{a_{n+n-1}}\le [/mm] c [mm] \Rightarrow a_{n+n}\le c^{n}a_{n}
[/mm]
Da [mm] a_{n} [/mm] beschränkt ist [mm] a_{n}\le [/mm] k [mm] k\in\IR [/mm] k konstant
also [mm] 0
Weil [mm] c^{n}*k=b_{n} [/mm] eine Nullfolge ist ist [mm] a_{n} [/mm] auch eine Nullfolge.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Do 01.12.2005 | | Autor: | saxneat |
Nochmal Tag!
Wenn [mm] \summe a_{n} [/mm] konvergiert ist [mm] a_{n} [/mm] eine Nullfolge.
Also Wurzelkriterium auf [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{n^{k}}{b^{n}} [/mm] anwenden und schon fertig.
MfG
saxneat
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