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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Do 05.01.2017 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | Sei [mm] A\in M(n\times [/mm] n, K) eine [mm] n\times [/mm] n-Matrix, sodass gilt [mm] A^2=A [/mm] und sp(A)=0.
Zeige, dass A die Nullmatrix ist. |
Guten Abend,
Könnte jemand mir bei diese Aufgabe helfen?
Also da [mm] A^2=A [/mm] kann es nur die EW 0 und 1 annehmen und die [mm] Sp(A)=\summe_i=1^{n}a_{ii}=a_{11}+...+a_{nn}=0
[/mm]
d.h. [mm] a_{11}=...=a_{nn}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A Nullmatrix?
Ich wäre für jeden Tipp dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Do 05.01.2017 | | Autor: | hippias |
Da ich nicht weiss, welche Vorkenntnisse vorhanden sind, versuche ich es so elementar wie möglich zu beschreiben.
Die Behauptung ist falsch; durch geeignete Wahl des Körpers $K$ lassen sich leicht Gegenbeispiele angeben. Hast Du Vorausetzungen an den Körper unterschlagen?
Nachdem die passenden Voraussetzungen an den Körper gestellt wurden, kannst Du wie folgt vorgehen.
Betrachte das Minimalpolynom von $A$. Welche Grade kann es haben? Was heisst das?
Mal angenommen der Grad ist $2$. Betrachte nun die durch die irreduziblen Faktoren des Minimalpolynoms induzierte Zerlegung des Raumes in $A$-invariante Teilräume. Sei etwa $V= [mm] U\oplus [/mm] W$.
Mache Dir klar, dass die Einschränkung von $A$ auf den einen Teilraum $0$ und auf den anderen Raum $1$ (Identität) ist.
Nun ist die Spur von $A$ gleich der Summe der Spuren der Einschränkungen von $A$ auf die Teilräume. Schlussfolgere nun, dass der Raum, auf dem $A$ die Identität ist, $0$ sein muss.
Wie gesagt, es geht auch noch einfacher, wenn man etwas über die Spur und Eigenwerte weiss.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Mo 09.01.2017 | | Autor: | mimo1 |
Was ich zu der Aufgabe vergessen habe zu erwähnen war, dass Chark=0 noch gegeben wae.
ich habe jetzt folgendes gemacht und zwar habe ich erstmal betrachtet:
[mm] A^2=A \gdw A^2-A=0 \Rightarrow p(t)=t^2-t=t(t-1)
[/mm]
NST sind dann [mm] \{0,1\}. [/mm] D.h EW von A sind 0 und 1.
[mm] p(t)=t^2-t [/mm] ist durch das Minimalpolynom [mm] \mu_A(t( [/mm] teilbar.
d.h [mm] \mu_A(t) [/mm] teilt t,t-1 oder [mm] t^2-t \Rightaarow [/mm] NST von [mm] \mu_A(t) [/mm] aus [mm] \{0,1\} [/mm]
also kann [mm] (1)\mu_A(t)=t, (2)\mu_A(t)=t-1 [/mm] oder(3) [mm] \mu_A(t)=t^2-t=\chi_A(t)
[/mm]
zu (1) dann ist A=0 (2) [mm] A=E_n [/mm] und (3) da [mm] \chi_A(t) [/mm] komplett in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt folgt daraus dass A diagonalisierbar ist,d.h A ist ähnlich zu Ihrer Diagonalmatrix [mm] D_A, [/mm] d.h. [mm] Spur(A)=Spur(D_A)=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A Nullmatrix (chark=0)
Ist meine Überlegung soweit richtig?
Ich danke schonmal im voraus für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:35 Di 10.01.2017 | | Autor: | fred97 |
> Was ich zu der Aufgabe vergessen habe zu erwähnen war,
> dass Chark=0 noch gegeben wae.
>
> ich habe jetzt folgendes gemacht und zwar habe ich erstmal
> betrachtet:
>
> [mm]A^2=A \gdw A^2-A=0 \Rightarrow p(t)=t^2-t=t(t-1)[/mm]
>
> NST sind dann [mm]\{0,1\}.[/mm] D.h EW von A sind 0 und 1.
>
> [mm]p(t)=t^2-t[/mm] ist durch das Minimalpolynom [mm]\mu_A(t([/mm] teilbar.
>
> d.h [mm]\mu_A(t)[/mm] teilt t,t-1 oder [mm]t^2-t \Rightaarow[/mm] NST von
> [mm]\mu_A(t)[/mm] aus [mm]\{0,1\}[/mm]
>
> also kann [mm](1)\mu_A(t)=t, (2)\mu_A(t)=t-1[/mm] oder(3)
> [mm]\mu_A(t)=t^2-t=\chi_A(t)[/mm]
Falls Du mit [mm] \chi_A [/mm] das char. Polynom von A meinst, bin ich mit (3) nicht einverstanden, denn [mm] \chi_A [/mm] ist ein Polynom vom Grade n.
>
> zu (1) dann ist A=0 (2) [mm]A=E_n[/mm] und (3) da [mm]\chi_A(t)[/mm]
> komplett in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt
> folgt daraus dass A diagonalisierbar ist,d.h A ist ähnlich
> zu Ihrer Diagonalmatrix [mm]D_A,[/mm] d.h. [mm]Spur(A)=Spur(D_A)=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] A Nullmatrix (chark=0)
>
> Ist meine Überlegung soweit richtig?
Fast.
Wir haben
(*) A(A-E)=0.
Wäre A invertierbar, so würde A=E folgen. Das aber widerspricht sp(A)=0.
0 ist also Eigenwert von A.
Annahme: A hat auch noch den Eigenwert 1. Aus (*) folgt dann
$ [mm] K^n=ker(A) \oplus [/mm] ker(A-E).$
Damit ist A diagonalisierbar und ist ähnlich zur Matrix [mm] D_A=diag(0,....,0,1,...,1). [/mm] Dann ist aber [mm] sp(A)=sp(D_A) \ne [/mm] 0, Wider spruch !
1 ist also kein Eigenwert von A und somit ist A-E inv.
Mit (*) folgt A=0.
Das Minimalpolynom von A wurde nicht benutzt !
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> Ich danke schonmal im voraus für eure Hilfe.
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