Nullmenge < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Do 19.11.2009 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei [mm] (\Omega,\mathcal{A},\mu) [/mm] ein Maßraum und seien [mm] f,g: \Omega \to \IR [/mm] zwei integriebare Funktionen.
Sei [mm] A \in \mathcal{A} [/mm] mit [mm] \mu(\{w \in A | f(w) \le 0 \}) = 0[/mm] und [mm] \integral_{A}{f d \mu = 0} [/mm]
Zeigen Sie, dass A eine [mm] \mu-Nullmenge [/mm] ist. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
da f integrierbar ist und das Integral über A=0 ist, gilt doch [mm] \mu(A)=0[/mm].
Und das wäre ja schon die Lösung ?
Das ist zu einfach - irgendwie fehlt noch f(w) [mm] \le [/mm] 0 - aber wie ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Do 19.11.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Sei [mm](\Omega,\mathcal{A},\mu)[/mm] ein Maßraum und seien [mm]f,g: \Omega \to \IR[/mm]
> zwei integriebare Funktionen.
> Sei [mm]A \in \mathcal{A}[/mm] mit [mm]\mu(\{w \in A | f(w) \le 0 \}) = 0[/mm]
> und [mm]\integral_{A}{f d \mu = 0}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass A eine [mm]\mu-Nullmenge[/mm] ist.
>
> Hallo,
> da f integrierbar ist und das Integral über A=0 ist, gilt
> doch [mm]\mu(A)=0[/mm].
Nein. Wenn f "zu gleichen Teilen" positiv sowie negativ ist, dann heben sich diese Teile im Integral genau auf.
> Und das wäre ja schon die Lösung ?
> Das ist zu einfach - irgendwie fehlt noch f(w) [mm]\le[/mm] 0 -
> aber wie ?
Beachte das, was ich oben geschrieben habe.
LG, Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Do 19.11.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo ALex,
vielen Dank für deinen Denkanstoss und Tipp.
Vielleicht habe ich es jetzt ja verstanden:
> > Sei [mm](\Omega,\mathcal{A},\mu)[/mm] ein Maßraum und seien [mm]f,g: \Omega \to \IR[/mm]
> > zwei integriebare Funktionen.
> > Sei [mm]A \in \mathcal{A}[/mm] mit [mm]\mu(\{w \in A | f(w) \le 0 \}) = 0[/mm]
> > und [mm]\integral_{A}{f d \mu = 0}[/mm]
> >
> > Zeigen Sie, dass A eine [mm]\mu-Nullmenge[/mm] ist.
>
> >
> > Hallo,
> > da f integrierbar ist und das Integral über A=0 ist,
> gilt
> > doch [mm]\mu(A)=0[/mm].
>
> Nein. Wenn f "zu gleichen Teilen" positiv sowie negativ
> ist, dann heben sich diese Teile im Integral genau auf.
>
> > Und das wäre ja schon die Lösung ?
> > Das ist zu einfach - irgendwie fehlt noch f(w) [mm]\le[/mm] 0 -
> > aber wie ?
>
> Beachte das, was ich oben geschrieben habe.
f setzt sich zusammen aus [mm] f^+ [/mm] und [mm] f^-[/mm] , also [mm] f=f^++f^- [/mm]
Für die Integrale bedeutet das entsprechend:
[mm] \integral_{A}{f d \mu }=\integral_{A}{f^+ d \mu - \integral_{A}{f^- d \mu } = 0 [/mm]
Da [mm] f^- [/mm] und f laut Vorgabe das Mass 0 haben, muss auch [mm] f^+ [/mm] das Mass 0 haben damit die Glechung aufgeht und damit ist A eine [mm] \mu-Nullmenge.
[/mm]
Stimmt das jetzt so ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Do 19.11.2009 | | Autor: | koepper |
Hallo Susanne,
> f setzt sich zusammen aus [mm]f^+[/mm] und [mm]f^-[/mm] , also [mm]f=f^++f^-[/mm]
> Für die Integrale bedeutet das entsprechend:
> [mm]\integral_{A}{f d \mu }=\integral_{A}{f^+ d \mu - \integral_{A}{f^- d \mu } = 0[/mm]
>
> Da [mm]f^-[/mm] und f laut Vorgabe das Mass 0 haben, muss auch [mm]f^+[/mm]
> das Mass 0 haben damit die Glechung aufgeht und damit ist A
> eine [mm]\mu-Nullmenge.[/mm]
Dein Gedankengang ist ganz richtig, muss aber noch beweisfähig formuliert und begründet werden.
LG
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Do 19.11.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Will,
vielen Dank fürs "Drüberschauen" und die Bestätigung !
LG, Susanne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Do 19.11.2009 | | Autor: | koepper |
Hallo Susanne,
da war noch ein kleiner Tippfehler: $f = f^+ - f^-$
LG
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Fr 20.11.2009 | | Autor: | SusanneK |
Stimmt  , danke !
LG, Susanne.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Mi 25.11.2009 | | Autor: | zeec |
Mir ist nicht ganz klar, warum aus [mm] \integral_{A}{f d \mu = 0} [/mm] folgt, dass [mm] \mu(A)=0[/mm]. Kann nicht auch einfach [mm] f(A)=0[/mm] sein?
Kann mir jemand einen Tipp geben?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Mi 25.11.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Mir ist nicht ganz klar, warum aus [mm]\integral_{A}{f d \mu = 0}[/mm]
> folgt, dass [mm]\mu(A)=0[/mm]. Kann nicht auch einfach [mm]f(A)=0[/mm] sein?
>
Doch, kann sein. Aber dann folgt mit der einen Voraussetzung aus der Aufgabe ebenfalls, dass [mm] \mu(A)=0.
[/mm]
LG, Alex
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