Nullmengen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Fr 15.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
a) Eine Nullmenge hat keinen inneren Punkte
b) Eine stetige Funktion f auf [mm] \IR^n [/mm] mit [mm] ||f||_1=0 [/mm] |
Hallo,
könnt ihr mir hier weiterhelfen?
Ich komme nicht so recht weiter!
zu a) Sei A [mm] \subseteq \IR^n. [/mm] A ist Nullmenge wenn [mm] \mu(A)=0
[/mm]
[mm] \mu(A)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in A \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x\notin A \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Fr 15.01.2010 | | Autor: | gfm |
Ich nehme mal an, dass der Kontext zu a) der [mm] \IR^{n} [/mm] mit dem LB-Maß [mm] \lambda [/mm] ist.
Zu jedem innerern Punkt gibt es eine ihn enthaltende Umgebung, die ganz in der Menge liegt. Im [mm] \IR^{n} [/mm] könnte man Bälle nehmen, welche ganz sicher ein von Null verschiedenes LB-Maß haben.
Bei b) fehlt mir was...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Di 19.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also ist a so korrekt?
Bei b) habe ich etwas vergessen... "ist die Nullfunktion"
Grüße
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Hallo,
nehme für b) an es wäre nicht die Nullfunktion. Dann gibt es einen Punkt [mm] x_0 [/mm] mit [mm] f(x_0)=c>0. [/mm] Aufgrund der Stetigkeit gibt es eine ganze Umgebung um [mm] x_0, [/mm] sodass die Funktion dort positiv ist. Kann dann noch das [mm] $L_1$ [/mm] -Maß=0 sein?
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Di 19.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
ich denke nicht...
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Ja,
dann schreibe das noch sauber und vernünftig auf und du bist fertig mit b.)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Di 19.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> also ist a so korrekt?
Wenn Du Deine "Lösung" von a) meinst, leider nein
>
> Bei b) habe ich etwas vergessen... "ist die Nullfunktion"
Ist [mm] $||f||_1 [/mm] = 0$, so ist f =0 fast überall. Wegen der Stetigkeit von f ist dann f =0 überall.
FRED
>
> Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Di 19.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Hi,
ok, wie müsste ich denn hier bei a) vorgehen? Ich stehe ein wenig aufm Schlauch...
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Di 19.01.2010 | | Autor: | fred97 |
gfm hats Dir doch oben vorgemacht !!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Di 19.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Ja, dass habe ich mir auch durchgelesen. Aber das ist doch noch nicht die Lösung oder doch?
Grüß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Di 19.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Nochmal: sei A eine Nullmenge.
Annahme: A enthält einen inneren Punkt [mm] x_0. [/mm] Dann gibt es ein r>0 mit
$K := [mm] \{x \in \IR^n: ||x-x_0||
Das Maß von K ist >0. Kann dann A eine Nullmenge sein ??
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Di 19.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
Nein, kann es nicht mehr!
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Di 19.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> Nein, kann es nicht mehr!
Ja, war ja auch noch nie
FRED
>
> Grüße
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