Nullmengen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:54 Di 26.01.2010 | | Autor: | Damasus |
| Aufgabe | Sei N [mm] \subset \IR^{n} [/mm] eine Nullmenge. Zeigen Sie:
(a) N x [mm] \IR^{m} \subset \IR^{n+m} [/mm] ist für alle m [mm] \in \IN [/mm] eine Nullmenge. |
Hallo erstmal und los gehts zur nächsten Runde der Nullmengen 
Also Taktik ist folgende: Ich mache eine Induktion nach m. Also fang ich mal an:
Induktionsanfang: N ist Nullmenge und [mm]\IR^{1}=\IR=\bigcup_{k\in\IN}(-k,k].[/mm]
Da N Nullmenge: Es exisiert eine offene Überdeckung von N mit höchstens abzählbar unendlich viele Quadern und die Summe der Volumina dieser Quader ist kleiner als [mm] \varepsilon.
[/mm]
Nun "kreuze" ich diese Nullmenge mit den halboffenen Quader (-k,k], dann existiert doch immer noch eine solche Überdeckung.
Kann mi vielleich jemand helfen, was genau nach dem "kreuzen" passiert.
Mit freundlichen Grüßen
Damasus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Di 26.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Also auch wenn ihr ganz sicher die elementare Definition von Nullmengen benutzen sollte, folgt es allgeiner sofort: Das Lebesgue-Maß [mm] $\lambda^{n+m}$ [/mm] auf [mm] $\IR^{n+m}$ [/mm] ist die Vervollständigung des Produktmaßes [mm] $\lambda^n\otimes\lambda^m$ [/mm] auf [mm] $\IR^n\times\IR^m$. [/mm] Die Menge [mm] $N\times\IR^n$ [/mm] ist dann messbar und es gilt [mm] $$\lambda^{n+m}(N\times\IR^n)=\lambda^n(N)\cdot\lambda^m(\IR^m)=0\cdot\infty=0.$$ [/mm] Und ja, in der Maßtheorie ist [mm] $0\cdot\infty$ [/mm] definiert als [mm]0[/mm].
Fröhliche Grüße,
Robert
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