Nullsetzen einer Ableitung < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] f(x)=sin(Pi*x)*e^{-x} [/mm] |
Hey Leute,
ich hab die erste Ableitung mal gebildet
[mm] f'(x)=e^{-x}(cos(Pi*x)*Pi-sin(Pi*x))
[/mm]
[mm] e^{-x} [/mm] geht nich nie gegen null also setzen wir den anderen faktor null
cos(Pi*x)*Pi-sin(Pi*x)=0
nur wie untersuche ich das jetzt? irgendwie steh ich hier aufm schlauch :/
grüße daniel
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Hallo Daniel,
> [mm]f(x)=sin(Pi*x)*e^{-x}[/mm]
> Hey Leute,
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> ich hab die erste Ableitung mal gebildet
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> [mm]f'(x)=e^{-x}(cos(Pi*x)*Pi-sin(Pi*x))[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> [mm]e^{-x}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
geht nich nie gegen null also setzen wir den anderen
> faktor null
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> cos(Pi*x)*Pi-sin(Pi*x)=0
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> nur wie untersuche ich das jetzt? irgendwie steh ich hier
> aufm schlauch :/
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> grüße daniel
>
Du könntest es so versuchen:
$\pi\cdot{}\cos(\pi\cdot{}x})=\sin(\pi\cdot{}x)$
Für $x\neq \frac{2k+1}{2}$ mit $k\in\IZ$ ist $\cos(\pi\cdot{}x)\neq 0$, du darfst in diesen Fällen, also für diese x, also durch $\cos(\pi\cdot{}x)$ teilen
$\Rightarrow \pi=\frac{\sin(\pi\cdot{}x)}{\cos(\pi\cdot{}x)}=\tan(\pi\cdot{}x)$
Nun mit der Umkehrfunktion des $tan$, also mit $tan^{-1}$ bzw. $\arctan$ draufhauen:
Das gibt:
$\Rightarrow \arctan(\pi)=\arctan(\tan(\pi\cdot{}x)=\pi\cdot{}x$
$\Rightarrow x=\frac{\arctan(\pi)}{\pi}$
Überlege dir noch kurz, wie es in den Fällen $x=\frac{2k+1}{2}$ aussieht, kann da die Gleichung erfüllt sein?
LG
schachuzipus
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