Nullst. von Zähler und Nenner < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Mi 14.03.2007 | | Autor: | ONeil |
| Aufgabe | | Untersuche das Verhalten von [mm]f(x)= \bruch {(x+2)^n}{(x+2)^m}[/mm] an der Stelle -2 in Abhängigkeit von [mm]n, m\in \IZ[/mm]. Diskutiere alle relevanten Fälle und veranschauliche sie durch Zeichnungen der Graphen. |
Meine Idee zur Lösung der Aufgabe war so:
Wenn [mm]n>m[/mm] und [mm]n,m\in \IZ^+[/mm], kann man soweit kürzen bis oben nur noch steht [mm](x+2)^n[/mm] und daraus würde dann folgen:
[mm] n>m \rightarrow f(x)=0[/mm]
[mm] n \le m \rightarrow f(x)=[/mm] nicht definiert
Ist das so möglich die Aufgabe zu rechnen? Irgendwie ist das schon seltsam, denn man kürzt ja immer 0 mit 0.
In Büchern hab ich auch gelesen, dass man bei solchen Aufgaben dann mit dem Faktor [mm](x-a)[/mm] kürzen kann, hab ich das da schon zur Anwendung gebracht, oder ist das was anderes?
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Mi 14.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
> Untersuche das Verhalten von [mm]f(x)= \bruch {(x+2)^n}{(x+2)^m}[/mm]
> an der Stelle -2 in Abhängigkeit von [mm]n, m\in Z[/mm]. Diskutiere
> alle relevanten Fälle und veranschauliche sie durch
> Zeichnungen der Graphen.
> Meine Idee zur Lösung der Aufgabe war so:
>
> Wenn [mm]n>m[/mm] und [mm]n,m\in Z+[/mm], kann man soweit kürzen bis oben nur
> noch steht [mm](x+2)^n[/mm] und daraus würde dann folgen:
> [mm]n>m \rightarrow f(x)=0[/mm]
> [mm]n \le m \rightarrow f(x)=[/mm] nicht
> definiert
>
> Ist das so möglich die Aufgabe zu rechnen? Irgendwie ist
> das schon seltsam, denn man kürzt ja immer 0 mit 0.
>
> In Büchern hab ich auch gelesen, dass man bei solchen
> Aufgaben dann mit dem Faktor [mm](x-a)[/mm] kürzen kann, hab ich das
> da schon zur Anwendung gebracht, oder ist das was anderes?
Hi,
ich würde erstmal die Funktion umformen f(x)= [mm] (x+2)^{n-m}
[/mm]
Für n>m ist n-m positiv und da hast Du Recht f(x)->0
Für n<m ist n-m negativ, so gilt f(x) = [mm] \bruch {1}{(x+2)^{m-n}} [/mm] Bei x->-2 [mm] f(x)->\infty
[/mm]
für n=m n-m = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] f(x)=1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Mi 14.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> Untersuche das Verhalten von [mm]f(x)= \bruch {(x+2)^n}{(x+2)^m}[/mm]
> an der Stelle -2 in Abhängigkeit von [mm]n, m\in Z[/mm].
1. Fall $m > 0$: f(x) ist nicht definiert.
2. Fall $m = 0$:
$f(x) = [mm] 0^n$, [/mm] also $f(x) = 1$ für $n = 0$, $f(x) = 0$ für $n>0$), nicht definiert für $n<0$.
3. Fall $m < 0$:
$f(x) = [mm] 0^{n-m}$, [/mm] also $f(x) = 1$ für $n = m$, $f(x) = 0$ für $n>m$, nicht definiert für $n<m$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Mi 14.03.2007 | | Autor: | ONeil |
Danke erstmal für euere Hilfe, aber mir sind noch einige Sachen unklar:
Zum 1.Fall: $ m > 0 $ Wieso ist das nicht definiert? Wenn $ n > m > 0 $ ist, kann man doch kürzen, so dass dann irgendwann nur noch $ [mm] (x+2)^n [/mm] $ stehen bleibt?
Zum 2.Fall $ m = 0 $ Warum ist hier [mm] $0^0=1$?
[/mm]
PS: In der Überschrift 3 Fehler in nem halben Satz, dass muss man auch erstmal fertig bringen. ;)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:43 Do 15.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> die 2. Antwort kannst du mal einfach vergessen. Da stimmt
> einiges nicht.
Geht's noch? Was soll an meiner Antwort bitte falsch sein?
Und zum Thema [mm] $0^0$ [/mm] lies dir bitte mal ![[]](/images/popup.gif) das hier durch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:00 Do 15.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo Ankh
> > Untersuche das Verhalten von [mm]f(x)= \bruch {(x+2)^n}{(x+2)^m}[/mm]
> > an der Stelle -2 in Abhängigkeit von [mm]n, m\in Z[/mm].
>
Für [mm] n\ge [/mm] m ist die Definitionslücke hebbar .
>
> 2. Fall [mm]m = 0[/mm]:
> [mm]f(x) = 0^n[/mm], also [mm]f(x) = 1[/mm] für [mm]n = 0[/mm], [mm]f(x) = 0[/mm]
> für [mm]n>0[/mm]), nicht definiert für [mm]n<0[/mm].
>
> 3. Fall [mm]m < 0[/mm]:
> [mm]f(x) = 0^{n-m}[/mm], also [mm]f(x) = 1[/mm] für [mm]n = m[/mm],
> [mm]f(x) = 0[/mm] für [mm]n>m[/mm], nicht definiert für [mm]n
>
Relevant sind nur die Fälle n-m [mm] \ge [/mm] 0 oder n-m < 0 im kritischen Punkt x=-2.
Für n-m [mm] \ge [/mm] 0 ist die Lücke hebbar, für n-m < nicht.
LG
Heiko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:17 Do 15.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> Für [mm]n\ge[/mm] m ist die Definitionslücke hebbar .
Hab ich dem widersprochen? Ich habe nur gesagt, das eine Definitionslücke existiert.
> Relevant sind nur die Fälle n-m [mm]\ge[/mm] 0 oder n-m < 0 im
> kritischen Punkt x=-2.
>
> Für n-m [mm]\ge[/mm] 0 ist die Lücke hebbar, für n-m < nicht.
Nicht ganz vollständig, denn für [mm] $n\ge0 \wedge m\le0$ [/mm] gibt es gar keine Definitionslücke, ansonsten schon.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:38 Do 15.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo Ankh> > Für [mm]n\ge[/mm] m ist die Definitionslücke hebbar .
>
> Hab ich dem widersprochen? Ich habe nur gesagt, das eine
> Definitionslücke existiert.
>
> > Relevant sind nur die Fälle n-m [mm]\ge[/mm] 0 oder n-m < 0 im
> > kritischen Punkt x=-2.
> >
> > Für n-m [mm]\ge[/mm] 0 ist die Lücke hebbar, für n-m < nicht.
>
> Nicht ganz vollständig, denn für [mm]n\ge0 \wedge m\le0[/mm] gibt es
> gar keine Definitionslücke, ansonsten schon.
Auch in diesem Fall gibt es eine Definitionslücke, da der Nenner = 0 ist.
Sie ist nur durch eine geeignete Wahl des Funktionswertes stetig ergänzbar, man spricht in diesem Fall von hebbaren Definitionslücken.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Do 15.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> > Nicht ganz vollständig, denn für [mm]n\ge0 \wedge m\le0[/mm] gibt es
> > gar keine Definitionslücke, ansonsten schon.
>
> Auch in diesem Fall gibt es eine Definitionslücke, da der
> Nenner = 0 ist.
Wann soll der Nenner = 0 sein?
> Sie ist nur durch eine geeignete Wahl des Funktionswertes
> stetig ergänzbar, man spricht in diesem Fall von hebbaren
> Definitionslücken.
Ich weiß, aber danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 Do 15.03.2007 | | Autor: | heyks |
> > > Nicht ganz vollständig, denn für [mm]n\ge0 \wedge m\le0[/mm] gibt es
> > > gar keine Definitionslücke, ansonsten schon.
> >
> > Auch in diesem Fall gibt es eine Definitionslücke, da der
> > Nenner = 0 ist.
>
> Wann soll der Nenner = 0 sein?
Wenn x den Wert -2 annimmt, wie man sich sofort überzeugen kann.
>
> > Sie ist nur durch eine geeignete Wahl des Funktionswertes
> > stetig ergänzbar, man spricht in diesem Fall von hebbaren
> > Definitionslücken.
>
> Ich weiß, aber danke.
Warum schreibst Du dann, daß es in dem von dir angeführten Fall keine Definitionslücke gibt?
LG
Heiko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Do 15.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> > > > Nicht ganz vollständig, denn für [mm]n\ge0 \wedge m\le0[/mm] gibt es
> > > > gar keine Definitionslücke, ansonsten schon.
> > >
> > > Auch in diesem Fall gibt es eine Definitionslücke, da der
> > > Nenner = 0 ist.
> >
> > Wann soll der Nenner = 0 sein?
>
> Wenn x den Wert -2 annimmt, wie man sich sofort überzeugen
> kann.
$f(-2) = [mm] \bruch{0^n}{0^m}$
[/mm]
Für $n>0$ gilt: [mm] $0^n [/mm] = 0$.
Für $n=0$ gilt: [mm] $0^n [/mm] = 1$.
Für $m=0$ gilt: [mm] $\bruch{1}{0^m} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 1$.
Für $m<0$ gilt: [mm] $\bruch{1}{0^m} [/mm] = [mm] 0^{-m} [/mm] = 0$.
Das ist alles definiert.
> > > Sie ist nur durch eine geeignete Wahl des Funktionswertes
> > > stetig ergänzbar, man spricht in diesem Fall von hebbaren
> > > Definitionslücken.
> >
> > Ich weiß, aber danke.
>
> Warum schreibst Du dann, daß es in dem von dir angeführten
> Fall keine Definitionslücke gibt?
Das hat doch damit gar nichts zu tun. Das "Ich weiß" bezog sich auf deine freundliche Definition der hebbaren Definitionslücke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Do 15.03.2007 | | Autor: | heyks |
> > > > > Nicht ganz vollständig, denn für [mm]n\ge0 \wedge m\le0[/mm] gibt es
> > > > > gar keine Definitionslücke, ansonsten schon.
> > > >
> > > > Auch in diesem Fall gibt es eine Definitionslücke, da der
> > > > Nenner = 0 ist.
> > >
> > > Wann soll der Nenner = 0 sein?
> >
> > Wenn x den Wert -2 annimmt, wie man sich sofort überzeugen
> > kann.
>
> Für [mm]m<0[/mm] gilt: [mm]\bruch{1}{0^m} = 0^{-m} = 0[/mm].
> Das ist alles
> definiert.
Eben nicht.
Der Ausdruck [mm] 0^m [/mm] ist im Fall m< 0 nicht definiert, den Du dividierst durch 0.
Und mit Ausdrücken , die nicht definiert sind, sollte man nicht rechnen.
Du kannst Dich gerne an geeigneter Stelle informieren ,z.b. bei einem Mathematiker an Deiner Universität.
Ganzrationale Funktionen sind grundsätzlich dort nicht definiert, wo der Nenner 0 wird.
Auch wenn man die Definitionslücke heben kann, ist die Funktion dort zunächst nicht definiert.
Erst nach Heben der Lücke kann ich die Funktion auf ganz [mm] \IR [/mm] in stetiger Weise definieren.
MfG
Heiko
>
>
> > > > Sie ist nur durch eine geeignete Wahl des Funktionswertes
> > > > stetig ergänzbar, man spricht in diesem Fall von hebbaren
> > > > Definitionslücken.
> > >
> > > Ich weiß, aber danke.
> >
> > Warum schreibst Du dann, daß es in dem von dir angeführten
> > Fall keine Definitionslücke gibt?
> Das hat doch damit gar nichts zu tun. Das "Ich weiß" bezog
> sich auf deine freundliche Definition der hebbaren
> Definitionslücke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:58 Do 15.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> > > > > > Nicht ganz vollständig, denn für [mm][mm] n\ge0 \wedge m\le0
[/mm]
> > Für [mm]m<0[/mm] gilt: [mm]\bruch{1}{0^m} = 0^{-m} = 0[/mm].
> Der Ausdruck [mm]0^m[/mm] ist im Fall m< 0 nicht definiert, den Du
> dividierst durch 0.
Ok, dieser Fall, ist mir wohl durch die Lappen gegangen. Hier war ich genau so voreilig wie Mary und cream.
Wir halten also fest, dass der Funktionswert an der Stelle -2 nur dann definiert ist, wenn [mm] $n\ge0 \wedge [/mm] m=0$ gilt.
> Und mit Ausdrücken , die nicht definiert sind, sollte man
> nicht rechnen.
>
> Du kannst Dich gerne an geeigneter Stelle informieren ,z.b.
> bei einem Mathematiker an Deiner Universität.
Bitte spar dir in Zukunft den herablassenden Ton.
> Ganzrationale Funktionen sind grundsätzlich dort nicht
> definiert, wo der Nenner 0 wird.
>
> Auch wenn man die Definitionslücke heben kann, ist die
> Funktion dort zunächst nicht definiert.
>
> Erst nach Heben der Lücke kann ich die Funktion auf ganz
> [mm]\IR[/mm] in stetiger Weise definieren.
Das ist mir völlig klar, ich habe nie etwas anderes behauptet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:07 Do 15.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo,
Wieso herablassender Ton, kannst Du die Wahrheit nicht vertragen ?
Mit meinem Hinweis auf kompetente Dritte wollte ich nur zur Klärung des Sachverhalts beitragen.
MfG
Heiko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:31 Do 15.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> Wieso herablassender Ton, kannst Du die Wahrheit nicht
> vertragen ?
Und schon wieder. Sind wir denn hier im Kindergarten?
Ich habe als einziger hier bisher einen (kleinen) Fehler eingeräumt, das betrifft den Fall [mm] $n\ge [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] m<0$. Fälschlicherweise wurde von dir z.B. behauptet, die Frage der Definitionslücke hinge allein vom Vorzeichen der Differenz von n und m ab. Also tu bitte nicht so, als hättest du die Weisheit mit Löffeln gefressen. Das Thema "hebbare Definitionslücke" hast du zwar richtig ausgeführt, widerspricht aber meinen Ausführungen in keinem Punkt.
> Mit meinem Hinweis auf kompetente Dritte wollte ich nur zur
> Klärung des Sachverhalts beitragen.
Das ist aber eine unzulässige Argumentation. Damit hast du mir die Kompetenz abgesprochen, obwohl ich genau weiß, dass die Division durch Null nicht definiert ist, was im Übrigen jeder sehen kann, der meine Antworten aufmerksam gelesen hat.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:09 Do 15.03.2007 | | Autor: | heyks |
> Fälschlicherweise wurde von dir z.B. behauptet, die Frage
> der Definitionslücke hinge allein vom Vorzeichen der
> Differenz von n und m ab.
Und was ist daran falsch ?
Wenn (n-m) [mm] \ge [/mm] 0 ist die Definitionslücke hebbar, im andern Fall nicht, also hängt die Art der Definitionslücke vom Vorzeichen der Differenz von (n-m) ab.
> hättest du die Weisheit mit Löffeln gefressen.
Bitte sachlich bleiben.
> Das Thema
> "hebbare Definitionslücke" hast du zwar richtig ausgeführt,
> widerspricht aber meinen Ausführungen in keinem Punkt.
>
> > Mit meinem Hinweis auf kompetente Dritte wollte ich nur zur
> > Klärung des Sachverhalts beitragen.
>
> Das ist aber eine unzulässige Argumentation.
> Damit hast du
> mir die Kompetenz abgesprochen,
Warum denn das ? Soll ich etwa auf unkompetente Dritte verweisen ?
> obwohl ich genau weiß, dass
> die Division durch Null nicht definiert ist,
Warum hast Du denn dann zuerst die Division durch Null zugelassen ?
MfG
Heiko
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Hallo,
die Diskussion, welche Ihr hier führt, ist für die Beantwortung der eingangs gestellten Frage nicht mehr sonderlich fruchtbar.
Falls Euch eine Fortsetzung notwendig erscheint, führt sie bitte per PN.
Was ich schön fände, wäre eine übersichtliche Zusammenfassung der korrekten Antwort. Also - falls einer Lust hat...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:38 Do 15.03.2007 | | Autor: | Ankh |
1. Fall ($n=0 [mm] \wedge [/mm] m=0$): $ f(-2) = 1$
2. Fall ($n>0 [mm] \wedge [/mm] m=0$): $ f(-2) = 0$
3. Fall ($n<0 [mm] \vee m\not=0$): [/mm] $ f(-2)$ nicht definiert, für [mm] $n\ge [/mm] m$ ist diese Lücke jedoch hebbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 Do 15.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> Wenn (n-m) [mm]\ge[/mm] 0 ist die Definitionslücke hebbar, im andern
> Fall nicht, also hängt die Art der Definitionslücke vom
> Vorzeichen der Differenz von (n-m) ab.
OK, nochmal:
Ich habe mich NUR mit der Frage beschäftigt, in welchen Fällen f(-2) definiert ist. Die Antwort ist: Nur wenn [mm] $n\ge0 \wedge [/mm] m=0$ gilt.
Ich habe nicht darüber geredet, wann eine Definitionslücke hebbar ist oder nicht. Da hast du natürlich recht, dass die DIESE Frage vom Vorzeichen der Differenz abhängt.
> Warum denn das ? Soll ich etwa auf unkompetente Dritte
> verweisen ?
Nein, auf niemanden. Warum, habe ich bereits erklärt.
> > obwohl ich genau weiß, dass
>
> > die Division durch Null nicht definiert ist,
>
> Warum hast Du denn dann zuerst die Division durch Null
> zugelassen ?
Weil ich in dem Fall [mm] $n\ge0 \wedge [/mm] m<0$ ganz einfach einen Fehler gemacht habe. Das heißt aber noch lange nicht, dass ich Division durch Null für legitim halte, warum sollte ich sonst die Fallunterscheidung machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Do 15.03.2007 | | Autor: | heyks |
> OK, nochmal:
> Ich habe mich NUR mit der Frage beschäftigt, in welchen
> Fällen f(-2) definiert ist. Die Antwort ist: Nur wenn [mm]n\ge0 \wedge m=1[/mm]
> gilt.
Nö, nur dann wenn n [mm] \ge [/mm] m ist .
Wie würdest Du denn f(-2) definieren , wenn wie in Deinem zugelassenen Fall n = 0 und m = 1 gilt ?
LG
Heiko
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 Do 15.03.2007 | | Autor: | Ankh |
Ich meinte [mm] $n\ge0 \wedge [/mm] m=0$, sorry.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:05 Do 15.03.2007 | | Autor: | heyks |
> Ich meinte [mm]n\ge0 \wedge m=0[/mm], sorry.
Und was ist mit den Fällen m [mm] \not= [/mm] 0 aber n [mm] \ge [/mm] m.
Ist f(-2) dann nicht definierbar ?
MfG
Heiko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:25 Do 15.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> Und was ist mit den Fällen m [mm]\not=[/mm] 0 aber n [mm]\ge[/mm] m.
>
> Ist f(-2) dann nicht definierbar ?
f(-2) ist in dem Fall nicht definiert, aber die Lücke ist hebbar. Das hatten wir doch schon.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 Do 15.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo ,
> Und was ist mit den Fällen m [mm]\not=[/mm] 0 aber n [mm]\ge[/mm] m.
> >
> > Ist f(-2) dann nicht definierbar ?
>
> f(-2) ist in dem Fall nicht definiert, aber die Lücke ist
> hebbar. Das hatten wir doch schon.
>
OK, so ist es.
MfG
heiko
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:14 Fr 16.03.2007 | | Autor: | ONeil |
Danke für die Tipps, jetzt sind wirklich alle Fragen geklärt. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:09 Do 15.03.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo cReam,
> Hi,
>
>
> die 2. Antwort kannst du mal einfach vergessen. Da stimmt
> einiges nicht. Und bei der ersten Antwort liegen auch zwei
> Fehler vor:
ich finde die Wortwahl eher unangebracht, um das mal vorsichtig auszudrücken - bitte achte nächstes Mal auf konstruktive Kritik
Liebe Grüße
Herby
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