Nullstelle < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:06 Sa 09.02.2008 | | Autor: | hasso |
Hallo
kennt jemand die...
...Nullstellen dieser funtkion:
f(x)= [mm] x(x^2-4)
[/mm]
ich bekomm nur eine 2 raus es gibt aber auch eine minus 2 kann jemand die minus 2 ermitteln + lösungsweg.?
lg hasso
|
|
| |
|
Hallo!
Du hast die Funktion f(x)=x(x²-4). Die Nullstellen ergeben sich wenn man die fkt 0 setzt. also x(x²-4)=0
Die Funktion ist genau dann null wenn einer der faktoren null ist. also wann ist x null und wann ist die klammer null? du solltest 3 nullstellen herausbekommen.
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:18 Sa 09.02.2008 | | Autor: | hasso |
Hallo!
>
> Du hast die Funktion f(x)=x(x²-4). Die Nullstellen ergeben
> sich wenn man die fkt 0 setzt. also x(x²-4)=0
> Die Funktion ist genau dann null wenn einer der faktoren
> null ist. also wann ist x null und wann ist die klammer
> null? du solltest 3 nullstellen herausbekommen.
ich würd erstmal die klammer ausmultiplitzieren
[mm] x^3-4x
[/mm]
dann die erste ableitung und dann nach x auflösen . darf man das ? geht das?
gruß hasso
|
|
|
| |
|
Hallo!
>
> ich würd erstmal die klammer ausmultiplitzieren
>
warum? damit machst du dir das nur kompliezierter. Beispiel: [mm] f(x)=6x^{4}-3x²=0 [/mm] jetzt klammere ich aus dann folgt. 3x²(2x²-1) Die Nullstellen kann ich jetzt ablesen. So wie ich gesagt habe die fkt ist genau dann 0 wenn einer der Faktoren null ist. ALso 3x²=0 und (2x²-1)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] 3x²=0 [mm] \gdw [/mm] x²=0 [mm] \gdw [/mm] x=0 UND 2x²-1=0 [mm] \gdw [/mm] 2x²=1 [mm] \gdw [/mm] x²=0,5 [mm] \gdw \pm \wurzel{0,5} [/mm] damit haben wir als nullstellen. [mm] x_{1}=0 [/mm] (doppelt) [mm] x_{2}=\wurzel{0,5} x_{3}=-\wurzel{0,5}. [/mm] Jetzt du mit deiner Funktion.
> [mm]x^3-4x[/mm]
> dann die erste ableitung und dann nach x auflösen . darf
> man das ? geht das?
![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]") Warum hast du das vor??? ich verstehe nicht was das mit der Nullstellenbestimmung der Funktion zu tun hat.
>
>
> gruß hasso
>
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:02 Sa 09.02.2008 | | Autor: | hasso |
> Hallo!
>
> >
> > ich würd erstmal die klammer ausmultiplitzieren
> >
> warum? damit machst du dir das nur kompliezierter.
> Beispiel: [mm]f(x)=6x^{4}-3x²=0[/mm] jetzt klammere ich aus dann
> folgt. 3x²(2x²-1) Die Nullstellen kann ich jetzt ablesen.
warum sind denn die Nullstellen von 3x² zwei mal 0 ?p/q formel kann man nicht anwenden weder p noch q gegeben wie soll ich da die nullstellen ermitteln können und nach x auflösen kann ich auch nicht .
> So wie ich gesagt habe die fkt ist genau dann 0 wenn einer
> der Faktoren null ist. ALso 3x²=0 und (2x²-1)=0 [mm]\Rightarrow[/mm]
> 3x²=0 [mm]\gdw[/mm] x²=0 [mm]\gdw[/mm] x=0 UND 2x²-1=0 [mm]\gdw[/mm] 2x²=1 [mm]\gdw[/mm] x²=0,5
> [mm]\gdw \pm \wurzel{0,5}[/mm] damit haben wir als nullstellen.
> [mm]x_{1}=0[/mm] (doppelt) [mm]x_{2}=\wurzel{0,5} x_{3}=-\wurzel{0,5}.[/mm]
> Jetzt du mit deiner Funktion.
wieso wird denn nicht die wurzel gezogen ?
> > [mm]x^3-4x[/mm]
> > dann die erste ableitung und dann nach x auflösen .
> darf
> > man das ? geht das?
>
> Warum hast du das vor??? ich verstehe nicht was
> das mit der Nullstellenbestimmung der Funktion zu tun hat.
gruß hasso
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:00 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo!
> >
> > >
> > > ich würd erstmal die klammer ausmultiplitzieren
> > >
> > warum? damit machst du dir das nur kompliezierter.
> > Beispiel: [mm]f(x)=6x^{4}-3x²=0[/mm] jetzt klammere ich aus dann
> > folgt. 3x²(2x²-1) Die Nullstellen kann ich jetzt ablesen.
>
> warum sind denn die Nullstellen von 3x² zwei mal 0 ?p/q
> formel kann man nicht anwenden weder p noch q gegeben wie
> soll ich da die nullstellen ermitteln können und nach x
> auflösen kann ich auch nicht .
Die Funktion $x [mm] \mapsto 3x^2$ [/mm] hat sicherlich die (doppelte) Nullstelle $x=0$. Denn:
[mm] $3*x^2=0$ [/mm] gilt genau dann, wenn einer der Faktoren linkerhand $=0$ ist. $3 [mm] \not=0$, [/mm] also bleibt nur die Frage nach der Existenz eines $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $x^2=0$ [/mm] als weitere mögliche Lösung, und dies ist genau für $x=0$ gegeben.
>
>
> > So wie ich gesagt habe die fkt ist genau dann 0 wenn einer
> > der Faktoren null ist. ALso 3x²=0 und (2x²-1)=0 [mm]\Rightarrow[/mm]
> > 3x²=0 [mm]\gdw[/mm] x²=0 [mm]\gdw[/mm] x=0 UND 2x²-1=0 [mm]\gdw[/mm] 2x²=1 [mm]\gdw[/mm] x²=0,5
> > [mm]\gdw \pm \wurzel{0,5}[/mm] damit haben wir als nullstellen.
> > [mm]x_{1}=0[/mm] (doppelt) [mm]x_{2}=\wurzel{0,5} x_{3}=-\wurzel{0,5}.[/mm]
> > Jetzt du mit deiner Funktion.
>
> wieso wird denn nicht die wurzel gezogen ?
Wurde doch:
[mm] $x^2=\frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $x=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}$
[/mm]
(Eigentlich:
[mm] $x^2=\frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $|x|=\sqrt{\frac{1}{2}}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $x=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}$.)
[/mm]
Und was das ganze mit Deiner Aufgabe zu tun hat:
Hier wollte Tyskie Dir klarmachen, wie man die Nullstellen einer anderen Funktion, nämlich [mm] $f(x)=6x^{4}-3x²$, [/mm] bestimmen kann, z.B. so:
[mm] $6x^4-3x^2=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $3x^2(2x^2-1)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $3x^2=0$ [/mm] oder [mm] $2x^2-1=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $x=0$ oder [mm] $x^2-\frac{1}{2}=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $x=0$ oder [mm] $\left(x+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(x+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $x=0$ oder [mm] $x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$
[/mm]
Zu Deiner Funktion:
Lösungswege z.B. hier
https://matheraum.de/read?i=365467
Und ggf. nachfragen.
Übrigens:
Standardbeispiel zur Erinnerung:
Welches sind alle Lösungen der Gleichung [mm] x^2=9? [/mm]
Wissen:
Es sind genau die Zahlen [mm] $x=\pm3$.
[/mm]
Denn:
Mögliche Lösungen ergeben sich durch die Operation Wurzelziehen:
Du solltest hierbei beachten, dass [mm] $\sqrt{x^2}=\sqrt{|x|^2}=|x|$, [/mm] dann folgt nämlich:
[mm] $x^2=9$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $|x|=\sqrt{9}=3$ $\gdw$ $x=\pm3$
[/mm]
Das [mm] $x=\pm3$ [/mm] auch tatsächlich [mm] $x^2=9$ [/mm] erfüllen, ist klar:
[mm] $(\pm3)^2=9$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo Hasso ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Denk daran, dass wenn du ein [mm] x^{2} [/mm] hast und du die Wurzel ziehen musst, du immer [mm] \pm\wurzel{x} [/mm] heraus bekommst.
Liebe Grüße,
Sarah 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:34 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
lies' Dir nochmal Tyskies Antwort durch.
> Hallo
> kennt jemand die...
>
> ...Nullstellen dieser funtkion:
> f(x)= [mm]x(x^2-4)[/mm]
ja, ich kenne sie 
Hier gibt es (mindestens) drei verschiedene Lösungswege (die eigentlich dennoch die gleichen sind, da sie alle miteinander zusammenhängen):
1. Lösungsweg (beachte, ein Produkt ist genau dann $=0$, wenn (mindestens) einer der Faktoren den Wert $0$ hat):
[mm] $x*(x^2-4)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $x=0$ oder [mm] $x^2-4=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $x=0$ oder [mm] $x^2-2^2=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $x=0$ oder $(x+2)(x-2)=0$ (beachte die 3e bin. Formel: [mm] $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$)
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $x=0$ oder $x=-2$ oder $x=2$
2. Lösungsweg:
[mm] $x*(x^2-4)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $x=0$ oder [mm] $x^2-4=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $x=0$ oder [mm] $x^2=4$
[/mm]
Die Gleichung [mm] $x^2=4$ [/mm] $$ gilt genau dann, wenn [mm] $|x|=\sqrt{4}=2$, [/mm] was genau dann der Fall ist, wenn [mm] $x=\pm2$
[/mm]
Also:
[mm] $x*(x^2-4)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $x=0$ oder $x=-2$ oder $x=2$
3. Lösungsweg (in unsinniger Weise mit p-q-Formel):
[mm] $x*(x^2-4)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $x=0$ oder [mm] $x^2-4=0$
[/mm]
Um die Nullstellen der Gleichung [mm] x^2-4 [/mm] zu berechnen, beachten wir, dass [mm] $x^2-4=x^2+\underbrace{0}_{=p}*x+\underbrace{(-4)}_{=q}$
[/mm]
Daraus folgen die Lösungen:
[mm] $x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}=\pm\sqrt{4}=\pm2$
[/mm]
Also auch hier:
[mm] $x*(x^2-4)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $x=0$ oder $x=-2$ oder $x=2$
Also am besten versuchst Du mal, jeden Lösungsweg nachzuvollziehen, aber Du kannst natürlich auch nur versuchen, den, der Dir am besten gefällt, nachzuvollziehen und dann dort ggf. nachfragen.
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
