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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Funktion [mm] f(x)=-\frac{1}{4}x^3+\frac{1}{8}x^2-x+\frac{5}{8} [/mm] genau eine reelle Lösung hat. |
Guten Abend,
Die Aufgabe ist vom Internet und ich verstehe die Lösung nicht.
Lösung:
$f'(x)=0$, daraus folgt [mm] (x-\frac{1}{6})^2=-\frac{47}{36}.
[/mm]
Daraus folgt (nach Rolle) f hat höchstens eine reelle NS. Mit den Grenzwertübergängen gegen [mm] \infty [/mm] und [mm] -\infty [/mm] folgt, dass es genau eine gibt.
Sooo... ich verstehe dass [mm] f'(x)\not=0 [/mm] für alle [mm] x\in\IR [/mm] ist, daraus folgt f ist streng monoton steigend oder fallend. Eine Konstante kann man ausschließen. Wie aber kann hier der Satz von Rolle angewendet werden? Wir haben kein abgeschlossenes Intervall. [mm] \IR [/mm] ist abgeschlossen, ja, aber ich komme nicht darauf. und wieso höchstens eine nullstelle?
edit ich denke ich habs
da kein [mm] x\in\IR [/mm] existiert mit f'(x)=0 und f str. mon. steigend oder str mon fallend ist, existiert oBdA [mm] a,b\in\IR [/mm] mit [mm] a\not=b [/mm] und f(a)<f(b) und mit dem Zwischenwertsatz folgt, dass es mindestens eine NS gibt.
Okay... das ist aber nicht "höchstens" eine. ISt das überhaupt richtig soweit?
Den Rest dass es danach nur noch genau eine gibt kann ich aber nachvollziehen.
Ich bedanke mich im Vorraus über die sehr nette Hilfe hier
LG, Björn
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Hallo Bjoern,
> Zeigen Sie, dass die Funktion
> [mm]f(x)=-\frac{1}{4}x^3+\frac{1}{8}x^2-x+\frac{5}{8}[/mm] genau
> eine reelle Lösung hat.
> Lösung:
> [mm]f'(x)=0[/mm], daraus folgt [mm](x-\frac{1}{6})^2=-\frac{47}{36}.[/mm]
> Daraus folgt (nach Rolle) f hat höchstens eine reelle NS.
> Mit den Grenzwertübergängen gegen [mm]\infty[/mm] und [mm]-\infty[/mm]
> folgt, dass es genau eine gibt.
> Sooo... ich verstehe dass [mm]f'(x)\not=0[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm]
> ist, daraus folgt f ist streng monoton steigend oder
> fallend.
Ja, und zwar weil $f'$ stetig ist (dann kann f' nicht zwischen negativen und positiven Werten hin- und herspringen).
Damit kann man übrigens auch ohne weiteres begründen, dass es höchstens eine Nullstelle gibt, weil f ja wegen der Monotonie injektiv ist.
> Eine Konstante kann man ausschließen. Wie aber
> kann hier der Satz von Rolle angewendet werden? Wir haben
> kein abgeschlossenes Intervall. [mm]\IR[/mm] ist abgeschlossen, ja,
> aber ich komme nicht darauf. und wieso höchstens eine
> nullstelle?
Wenn es zwei Nullstellen gäbe, hätte man ja zwei Stellen [mm] $x_1 \not= x_2$ [/mm] mit [mm] $f(x_1) [/mm] = 0 = [mm] f(x_2)$.
[/mm]
Nach dem Satz von Rolle würde gelten: [mm] $f'(\xi) [/mm] = 0$ für ein [mm] $\xi \in (x_1,x_2)$. [/mm] Wir konnten aber gerade ausschließen, dass es so ein [mm] $\xi$ [/mm] gibt, weil die Ableitung nie Null wird.
> edit ich denke ich habs
>
> da kein [mm]x\in\IR[/mm] existiert mit f'(x)=0 und f str. mon.
> steigend oder str mon fallend ist, existiert oBdA [mm]a,b\in\IR[/mm]
> mit [mm]a\not=b[/mm] und f(a)<f(b) und mit dem Zwischenwertsatz
> folgt, dass es mindestens eine NS gibt.
Nein, das ist noch nicht richtig. Damit du den Zwischenwertsatz anwenden kannst, musst du ja zwei Stelle a,b haben mit $f(a) < 0$ und $f(b) > 0$.
Dies musst du mit den Grenzübergängen begründen. Da [mm] $\lim_{x\to\infty}f(x) [/mm] = [mm] -\infty$, [/mm] gibt es (siehe Def. des Grenzwerts) ein [mm] $x_{-}$ [/mm] (eine sehr große positive Zahl) mit [mm] $f(x_{-}) [/mm] < 0$.
Genauso gibt es wegen [mm] $\lim_{x\to -\infty}f(x) [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] ein [mm] $x_{+}$ [/mm] (eine sehr große negative Zahl) mit [mm] $f(x_{+}) [/mm] > 0$.
Weil $f$ stetig ist, folgt mit dem Zwischenwertsatz dass es eine Stelle [mm] $\xi \in (x_{+}, x_{-})$ [/mm] gibt mit [mm] $f(\xi) [/mm] = 0$ (die gesuchte Nullstelle!).
Viele Grüße,
Stefan
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Hallo,
Danke für den Tipp mit der Injektivität!
Ich habe alles verstanden!
Super, Danke Dir steppenhahn!
LG, Björn
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