Nullstelle Betragsfunktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Mi 20.10.2010 | | Autor: | schnacki |
| Aufgabe 1 | Bestimmen Sie die reellen Lösungen für folgende Gleichung:
|x-3| = |
| Aufgabe 2 | Bestimmen Sie die reellen Lösungen der folgenden Gleichung:
|x-3| = [mm] \bruch{1}{x-1} [/mm] |
Hallo,
mit Betragsfunktionen kenne ich mich noch nicht so gut aus. Habe mich an der obigen Aufgabe versucht und habe meiner Meinung nach schon die Hälfte gelöst.
Erst einmal bringe ich alles auf eine Seite und komme auf
[mm] |x-3|-\bruch{1}{x-1}= [/mm] 0
Dann habe ich eine Fallunterscheidung durchgeführt
[mm] f(|x-3|-\bruch{1}{x-1})=\begin{cases} x-3-\bruch{1}{x-1} & \mbox{für } x \ge 0 \mbox{ } \\ -x-3-\bruch{1}{x-1}, & \mbox{für } x<0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Dann betrachte ich den ersten Fall und löse die Gleichung mit p-q-Formel
[mm] x_{1} [/mm] = 2 + [mm] \wurzel{2}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = 2 - [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Durch Einsetzen sehe ich das [mm] x_{2} [/mm] = 2 - [mm] \wurzel{2} [/mm] falsch ist und streiche es wieder
Für den zweiten Fall habe ich dasselbe probiert
[mm] -x-3-\bruch{1}{x-1} [/mm] < 0
-x(x-1) - 3(x-1) - 1 < 0
[mm] -x^2-2x+2<0
[/mm]
[mm] x^2+2x-2>0 [/mm]
nun komme ich auf
[mm] x_{2}= [/mm] -1 + [mm] \wurzel{3}
[/mm]
[mm] x_{3}= [/mm] -1 - [mm] \wurzel{3}
[/mm]
Habe den Graph mit GeoGebra gezeichnet und die zweite Nullstelle müsste eigentlich die Koordinaten (2/0) haben.
Was habe ich falsch gemacht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo schnacki,
> Bestimmen Sie die reellen Lösungen für folgende
> Gleichung:
>
> |x-3| =
> Bestimmen Sie die reellen Lösungen der folgenden
> Gleichung:
>
> |x-3| = [mm]\bruch{1}{x-1}[/mm]
>
> Hallo,
>
> mit Betragsfunktionen kenne ich mich noch nicht so gut aus.
> Habe mich an der obigen Aufgabe versucht und habe meiner
> Meinung nach schon die Hälfte gelöst.
>
> Erst einmal bringe ich alles auf eine Seite und komme auf
>
> [mm]|x-3|-\bruch{1}{x-1}=[/mm] 0
>
> Dann habe ich eine Fallunterscheidung durchgeführt
>
> [mm]f(|x-3|-\bruch{1}{x-1})=\begin{cases} x-3-\bruch{1}{x-1} & \mbox{für } \blue{x} \ge 0 \mbox{ } \\
-x\red{-}3-\bruch{1}{x-1}, & \mbox{für }\blue{x}<0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
Da stecken zwei Fehler, zum einen, musst du schauen, wann der Ausdruck in den Betragstrichen [mm]\ge0[/mm] oder [mm]<0[/mm] ist, hier also [mm]x-3\ge 0[/mm] oder [mm]x-3<0[/mm], dh. [mm]x\ge 3[/mm] oder [mm]x<3[/mm]
Zum anderen ist für [mm]x<3[/mm] doch [mm]|x-3|=-(x-3)=-x\red{+}3[/mm]
>
>
> Dann betrachte ich den ersten Fall und löse die Gleichung
> mit p-q-Formel
> [mm]x_{1}[/mm] = 2 + [mm]\wurzel{2}[/mm]
> [mm]x_{2}[/mm] = 2 - [mm]\wurzel{2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Durch Einsetzen
Eher, weil [mm]x_2\not\ge 3[/mm]
> sehe ich das [mm]x_{2}[/mm] = 2 - [mm]\wurzel{2}[/mm] falsch
> ist und streiche es wieder
>
> Für den zweiten Fall habe ich dasselbe probiert
> [mm]-x-3-\bruch{1}{x-1}[/mm] < 0
> -x(x-1) - 3(x-1) - 1 < 0
> [mm]-x^2-2x+2<0[/mm]
> [mm]x^2+2x-2>0[/mm]
>
> nun komme ich auf
>
> [mm]x_{2}=[/mm] -1 + [mm]\wurzel{3}[/mm]
> [mm]x_{3}=[/mm] -1 - [mm]\wurzel{3}[/mm]
>
> Habe den Graph mit GeoGebra gezeichnet und die zweite
> Nullstelle müsste eigentlich die Koordinaten (2/0) haben.
> Was habe ich falsch gemacht?
Den Betrag im Falle [mm]x<3[/mm] falsch aufgelöst (siehe oben)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:14 Mi 20.10.2010 | | Autor: | schnacki |
Super. Hab es jetzt verstanden und richtig gelöst. Vielen Dank
|
|
|
|
