Nullstelle holomorpher Funkt. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | (a) Sei f:G [mm] \to \IC [/mm] holomorph und r>0 mit [mm] \overline{D_r (a)} \subset [/mm] G. Zeige:
Ist |f(a)| < min {|f(z)| : |z-a|=r}, dann hat f eine Nullstelle in [mm] D_r [/mm] (a).
(b) Sei f: ID [mm] \to [/mm] ID holomorph. Zeige:
|f'(z)| [mm] \le \bruch{1}{1-|z|} \le \bruch{1}{(1-|z|)^2} [/mm] in ID
ID ist der offene Einheitskreis |
Hallo!
Ich probiere mal meine Ideen zu formulieren:
(a) Wenn ich ein einem Gebiet G in [mm] \IC [/mm] eine abgeschlossene Kreisscheibe finde für die gilt, dass der Funktionswert (einer holomorphen Funktion) im Mittelpunkt (betragsmäßig) kleiner ist als jeder Wert auf dem Rand der Kreisscheibe, so hat f eine Nullstelle auf der Kreisscheibe.
Hab aber irgendwie keine Idee wie ich da ansetzen soll.
(b) Das riecht mir irgendwie nach Cauchy-Abschätzung, aber auch da dreh ich mich nur im Kreis.
Danke im voraus, bin für jede Hilfe dankbar
GREETz
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 So 24.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> (a) Wenn ich ein einem Gebiet G in [mm]\IC[/mm] eine abgeschlossene
[...]
> Hab aber irgendwie keine Idee wie ich da ansetzen soll.
Wende das Maximumsprinzip auf [m][mm] \bruch{1}{f}[/mm] [m] an - natürlich nur, wenn f per Annahme keine Nullstelle hat.
SEcki
|
|
|
| |
|
Wenn du mir noch sagst was [m] [mm] \bruch{1}{f}[/mm] [m] heißt probier ichs mal 
Warmu gerade auf [mm] \bruch{1}{f} [/mm] ?
|
|
|
| |
|
Also ich hab die Aufgabe a mit deinem Tip gelöst.
Hat jemand eine Idee zur b)?
|
|
|
| |
|
Ich habe mal was mit den Cauchy-Ungleichungen rumprobiert und komme zu folgendem:
|f'(z)| [mm] \le \bruch{r}{\delta} \bruch{1!}{\delta^1} \max_{|t|=1} [/mm] |f(t)| mit [mm] \delta \le [/mm] t
= [mm] \bruch{r}{\delta^2} \max_{|t|=1} [/mm] |f(t)|
und da r=1
= [mm] \bruch{1}{\delta^2} \max_{|t|=1} [/mm] |f(t)| mit [mm] \delta \le [/mm] 1
nun dachte ich mir könnte man das [mm] \delta [/mm] explizit wählen, komme aber hier nicht weiter.
Sieht ein wenig nach geometrischer Reihe von [mm] |z|^n [/mm] aus, vielleicht Potenzreihe um 0 mit allen Koeffizienten 1, macht aber für mich noch keinen Sinn alles...
Schonmal Dank für jeden Tip
GREETz
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:17 Mo 25.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Ich habe mal was mit den Cauchy-Ungleichungen rumprobiert
> und komme zu folgendem:
Könntest du mir bitte kurz diese angeben - vor allem die Bedeutung von [m]\delta[/m] - ich konnte die so schnell ergooglen.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Di 26.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:35 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> (b) Sei f: ID [mm]\to[/mm] ID holomorph. Zeige:
> |f'(z)| [mm]\le \bruch{1}{1-|z|} \le \bruch{1}{(1-|z|)^2}[/mm] in
> ID
>
> ID ist der offene Einheitskreis
Die zweite Ungleichung in b) folgt einfach: Wegen [mm] $z\in\mathbb{E}:=ID$ [/mm] gilt
[mm] $|z|\geqslant |z|^2$ [/mm] und [mm] $0\geqslant [/mm] -2|z|$
[mm] $\Longrightarrow\;|z|\geqslant -2|z|+|z|^2$
[/mm]
[mm] $\Longrightarrow\;1-|z|\geqslant 1-2|z|+|z|^2$
[/mm]
[mm] $\Longrightarrow\;1-|z|\geqslant (1-|z|^2)>0$ [/mm] ($>0$ wegen [mm] $z\in\mathbb{E}$)
[/mm]
[mm] $\Longrightarrow\;\frac{1}{1-|z|}\leqslant\frac{1}{(1-|z|^2)}\quad\forall\,z\in\mathbb{E}$
[/mm]
Zur Beantwortung des ersten Teils Deiner Ungleichung hast Du ja noch eine weitere Frage offen.
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo!
Da seh ich aber durchaus Probleme:
Hinter dem ersten Folgepfeil müsste mein ich -|z| stehen, sonst passt es auch nicht zu dem Rest.
zum anderen müsste das Quadrat ab dem dritten Folgepfeil denk ich außerhalb der Klammer sein (das andere wäre ja gar nicht meine Frage gewesen ).
Ich habs jetzt etwas anders gelöst, aber ich denke falss hier nochmal jemand reinguckt sollte an das gegebenenfalls korrigieren.
Wegen $ [mm] z\in\mathbb{E}:=ID [/mm] $ gilt
$ [mm] |z|\geqslant |z|^2 [/mm] $ und $ [mm] 0\geqslant [/mm] -2|z| $
$ [mm] \Longrightarrow\;-|z|\geqslant -2|z|+|z|^2 [/mm] $
$ [mm] \Longrightarrow\;1-|z|\geqslant 1-2|z|+|z|^2 [/mm] $
$ [mm] \Longrightarrow\;1-|z|\geqslant (1-|z|)^2>0 [/mm] $ ($da [mm] z\in\mathbb{E}$)
[/mm]
$ [mm] \Longrightarrow\;\frac{1}{1-|z|}\leqslant\frac{1}{(1-|z|)^2}\quad\forall\,z\in\mathbb{E} [/mm] $
Vielen Dank für deine Hilfe
GREETz
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:57 Di 26.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Deine Rechnungen sind in Ordnung, aber es geht einfacher:
Für $|z|<1$:
[mm] \frac{1}{1-|z|}\leqslant\frac{1}{(1-|z|)^2} \gdw $(1-|z|)^2 \le [/mm] 1-|z|$ [mm] \gdw [/mm] $1-|z| [mm] \le [/mm] 1$ [mm] \gdw [/mm] $|z| [mm] \ge0$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
Jep, hab ich dann auch so gemacht 
GREETz
|
|
|
|
