Nullstelle komplexes Polynom < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 Mo 09.12.2013 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Finden sie alle Nullstellen des komplexen Polynoms:
p(z) = [mm] z^4 [/mm] + 2z - 2iz |
Hi,
ich habe das ganze versucht zu lösen und komme auch auf ein Ergebnis.
Ich bin mir jedoch nicht sicher ob es stimmr.
[mm] z^4 [/mm] + 2z - 2iz = 0
[mm] z(z^3 [/mm] + 2 -2i) -> einfache Nullstelle bei z=0
[mm] z^3 [/mm] = 2i - 2 Mit 2i - 2 = 0
[mm] \wurzel[3]{|0|}e^{i\bruch{\alpha + 2k\pi}{3}} [/mm] für k=0,1,2
[mm] \alpha [/mm] = Winkel = 0
da [mm] \wurzel[3]{|0|} [/mm] = 0 -> 3-fache Nullstelle bei z=0
Also ist bei z=0 eine 4-fache Nullstelle ???
|
|
| |
|
Hallo Bindl,
abenteuerlich!
> Finden sie alle Nullstellen des komplexen Polynoms:
>
> p(z) = [mm]z^4[/mm] + 2z - 2iz
> Hi,
>
> ich habe das ganze versucht zu lösen und komme auch auf
> ein Ergebnis.
> Ich bin mir jedoch nicht sicher ob es stimmr.
>
> [mm]z^4[/mm] + 2z - 2iz = 0
> [mm]z(z^3[/mm] + 2 -2i) -> einfache Nullstelle bei z=0
Richtig.
> [mm]z^3[/mm] = 2i - 2 Mit 2i - 2 = 0
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Es gilt definitiv [mm] 2i-2\not=0. [/mm] Das kannst Du doch nicht einfach Null setzen.
Ab hier gehts weiter, z.B. mit der  Moivre-Formel.
> [mm]\wurzel[3]{|0|}e^{i\bruch{\alpha + 2k\pi}{3}}[/mm] für
> k=0,1,2
> [mm]\alpha[/mm] = Winkel = 0
> da [mm]\wurzel[3]{|0|}[/mm] = 0 -> 3-fache Nullstelle bei z=0
Quatsch!
> Also ist bei z=0 eine 4-fache Nullstelle ???
In keinem Fall.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Mo 09.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Dachte mir schon das meine Lösung nicht stimmen kann.
Also,
[mm] z^3 [/mm] = 2i - 2
[mm] \wurzel[n]{|a|}e^{i\bruch{\alpha + 2k\pi}{n}} [/mm] für k=0,1,2
|a| = [mm] \wurzel{2^2 + (-2)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{8} [/mm] = [mm] 2\wurzel{2}
[/mm]
Also n = 3 und |a| habe ich auch.
Nur wie bekomme ich den Winkel [mm] \alpha?
[/mm]
Wenn ich den habe muss ich ja nur noch k=0,1,2 einsetzen und dann habe ich die weiteren Nullstellen, oder ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:45 Mo 09.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Geht das wie folgt ?
[mm] \alpha [/mm] = arccos(x/|a|)
oder auch
[mm] \alpha [/mm] = arcsin(y/|a|)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Mo 09.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Danke für die Hilfe
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
