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Forum "Sonstiges" - Nullstelle von Polynom?
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Nullstelle von Polynom?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:49 Do 14.02.2013
Autor: haner

Aufgabe
P(x)= [mm] x^5 [/mm] + [mm] ax^3 [/mm] + [mm] ax^2 [/mm] + b

Wie müssen a, b [mm] \in \IR [/mm] gewählt werden ,dass x=i eine Nullstelle ist?

Hallo,
irgendwie stehe ich auf dem Schlauch und weiß nicht, wie ich das machen soll.
Kann man da irgendwie das Hornerschema anwenden?

Gruß haner

        
Bezug
Nullstelle von Polynom?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:55 Do 14.02.2013
Autor: M.Rex

Hallo

> P(x)= [mm]x^5[/mm] + [mm]ax^3[/mm] + [mm]ax^2[/mm] + b
>  
> Wie müssen a, b [mm]\in \IR[/mm] gewählt werden ,dass x=i eine
> Nullstelle ist?
>  Hallo,
>  irgendwie stehe ich auf dem Schlauch und weiß nicht, wie
> ich das machen soll.
>  Kann man da irgendwie das Hornerschema anwenden?
>  
> Gruß haner

Wenn i eine Nullstelle sein soll, muss doch f(i)=0 sein, also

[mm] $i^{5}+a\cdot i^{3}+ a\cdot i^{2}+b=0$ [/mm]

Ausserdem sollte der "Restterm" r(x) nach der Polynomdivision durch x-i ebenfalls ein Polynom sein, mache mal die Polynomdivision

[mm] $(x^5+ax^3+ax^2+b):(x-i)=r(x)$ [/mm]

Marius


Bezug
                
Bezug
Nullstelle von Polynom?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:09 Do 14.02.2013
Autor: haner

Ok,
aber wie komme ich dann auf a und b?
Ich hab jetzt dastehen:
i-ai-a+b=0
Ohne eine zweite Gleichung kann ich a und b doch nicht bestimmen?!
Kann man das nicht irgendwie mittels Hornerschema machen? Das hatten wir in der Vorlesung.
Polynomdivision haben wir noch nie durchgenommen.

Gruß haner

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Bezug
Nullstelle von Polynom?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:23 Do 14.02.2013
Autor: abakus


> Ok,
>  aber wie komme ich dann auf a und b?
>  Ich hab jetzt dastehen:
>  i-ai-a+b=0
>  Ohne eine zweite Gleichung kann ich a und b doch nicht
> bestimmen?!
>  Kann man das nicht irgendwie mittels Hornerschema machen?
> Das hatten wir in der Vorlesung.
>  Polynomdivision haben wir noch nie durchgenommen.
>  
> Gruß haner

Hallo,
i-ai-a+b ist eine komplexe Zahl mit Real- und Imaginärteil.
Wenn diese komplexe Zahl 0 werden soll, muss sowohl der Real- als auch der Imaginärteil 0 werden.
Gruß Abakus



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Nullstelle von Polynom?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:27 Do 14.02.2013
Autor: haner

Ja,
dann kann man ja schreiben: i*(1-a) +b =0
a muss dann 1 sein und b=0.
Stimmt das?

Bezug
                                        
Bezug
Nullstelle von Polynom?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:32 Do 14.02.2013
Autor: schachuzipus

Hallo,


> Ja,
>  dann kann man ja schreiben: i*(1-a) +b =0

?? ich habe nicht alles gelesen, aber abakus' Antwort entnehme ich, dass es um $i-ai-a+b$ geht.

Und das ist doch wohl [mm] $i\cdot{}(1-a)+(-a+b)$ [/mm]

>  a muss dann 1 sein [ok] und b=0. [notok]
>  Stimmt das?

Nein

Gruß

schachuzipus


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Nullstelle von Polynom?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:36 Do 14.02.2013
Autor: haner

Oh, ja da hab ich was falsch gemacht.
Mein neues Ergebnis ist:
[mm] a=\bruch{-i}{1-i} [/mm] und b=0

Ist das jetzt richtig?

Bezug
                                                        
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Nullstelle von Polynom?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:39 Do 14.02.2013
Autor: abakus


> Oh, ja da hab ich was falsch gemacht.
>  Mein neues Ergebnis ist:
>  [mm]a=\bruch{-i}{1-i}[/mm] und b=0
>  
> Ist das jetzt richtig?

Hallo,
schachuzipus hat dir bereits bestätigt, dass a=1 richtig ist.
Lies seine Antwort noch einmal und ermittele zu a=1 auch das richtige b.
Gruß Abakus


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Nullstelle von Polynom?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Do 14.02.2013
Autor: haner

Ja, den "Daumen nach oben hab ich übersehen".
Ich habe jetzt für b=1=a raus?

Gruß haner

Bezug
                                                                        
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Nullstelle von Polynom?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:48 Do 14.02.2013
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Ja, den "Daumen nach oben hab ich übersehen".
>  Ich habe jetzt für b=1=a raus? [ok]

Aye!

>  
> Gruß haner

Zurück!

schachuzipus


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Nullstelle von Polynom?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:52 Do 14.02.2013
Autor: reverend

Hallo haner,

was für eine schwere Geburt...

> Ja, den "Daumen nach oben hab ich übersehen".
>  Ich habe jetzt für b=1=a raus?

Es empfiehlt sich immer, dann noch eine Probe zu machen. Setze also mal a=b=1 und x=i in Dein vorliegendes Polynom ein und schau was rauskommt.

Grüße
reverend


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