Nullstellen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Sa 06.03.2004 | | Autor: | Murmel87 |
Hi.
Ich habe mal wieder eine Aufgabe mit der ich nicht ganz klar komme.
Ich habe sie versucht auf verschiedene Arten auszurechnen, mein Freund hat sich auch schon gerade versucht, aber wir kommen zu keinem Ergebnis.
Die Aufgabe lautet:
Bestimmt die Nullstellen der ganzrationalen Funktion. Durch Substitution oder Ausklammern (danach halt p-q Formel oder quadratische Ergänzung).
g(r) = r hoch 6 -19r hoch 3 -216
Mit beiden Verfahren bin ich nicht weitergekommen. Vielleicht könnt ihr mir ja einen Tipp geben.
Als Ergebnis sollen die Nullstellen -2 und 3 rauskommen.
Danke für die Hilfe schon mal im Voraus.
Eva
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Sa 06.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Murmel87,
> Durch Substitution oder Ausklammern (danach halt p-q Formel
> oder quadratische Ergänzung).
>
> g(r) = r hoch 6 -19r hoch 3 -216
>
> Mit beiden Verfahren bin ich nicht weitergekommen.
> Vielleicht könnt ihr mir ja einen Tipp geben.
Substitution ist doch ein sehr guter Tipp.
Und zwar könnte man hier z=r³ substituieren, und erhält:
[mm] $r^6-19r^3-216 [/mm] = 0$
[mm] $\gdw \left( r^3 \right)^2-19r^3-216 [/mm] = 0$
[mm] $\gdw z^2-19z-216 [/mm] = 0$
Jetzt kannst du die  p/q-Formel anwenden:
[mm] $z_{1,2}=-\bruch{-19}{2}\pm\sqrt{\left( \bruch{-19}{2} \right)^2-(-216)}$
[/mm]
[mm] $\gdw z_{1,2}=\bruch{19}{2}\pm\sqrt{ \bruch{361}{4}+216}$
[/mm]
[mm] $\gdw z_{1,2}=\bruch{19}{2}\pm\sqrt{ \bruch{361+864}{4}}$
[/mm]
[mm] $\gdw z_{1,2}=\bruch{19}{2}\pm\sqrt{ \bruch{1225}{4}}$
[/mm]
[mm] $\gdw z_{1,2}=\bruch{19}{2}\pm \bruch{35}{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw z_1=\bruch{19+35}{2}\;\;\vee\;\;z_1=\bruch{19-35}{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw z_1=\bruch{54}{2}\;\;\vee\;\;z_1=\bruch{-16}{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw z_1=27\;\;\vee\;\;z_1=-8$
[/mm]
resubstituieren:
[mm] $\gdw r_1^3=27\;\;\vee\;\;r_2^3=-8$
[/mm]
[mm] $\gdw r_1=3\;\;\vee\;\;r_2=-2$
[/mm]
Wo seid Ihr denn nicht weitergekommen? Seid Ihr nicht auf diese Substitution gekommen?
Alles Gute,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 Sa 06.03.2004 | | Autor: | Murmel87 |
Ok. das war wohl mein Fehler, die Substitution haben wir hingekriegt, bzw. mein freund, aber ich habe dann wieder ein fehler beim ausrechnen der p-q Formel gehabt...
Ich muss noch eine aufgabe machen, falls ich da nicht weiterkomme, melde ich mich wieder.
Danke für die Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Sa 06.03.2004 | | Autor: | Murmel87 |
ok. jetzt weiß ich warum ich nicht weitergekommen bin. da ich durch die substitution nicht direkt rhoch2 erhalten konnte, sondern nur rhoch3, wußte ich nicht wie ich vorgehen soll. ich wußte nicht das man dann einfach nach der substitution ausklammern kann, darauf bin ich nicht gekommen.. der rest ist ja dann klar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Sa 06.03.2004 | | Autor: | Murmel87 |
Nächstes Problem.
6)
f) f(x)= (x+1)hoch3 + (x+1)hoch2 -6 (x+1)
Ich habe gerechnet:
Setze x hoch2 = u
Dann ist x hoch3 = u
f(x)=0
x+1=0 v x+1 =0 v -6 (x+1) =0
x = -1 v x = -1 v x = 1/6
Was ist falsch und wie mach eich es besser?
Lösung muss sein: -4, -1, 1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Sa 06.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Murmel87,
> 6)
>
> f) f(x)= (x+1)hoch3 + (x+1)hoch2 -6 (x+1)
>
> Ich habe gerechnet:
>
> Setze x hoch2 = u
> Dann ist x hoch3 = u
Häh? [mm] $x^2=u$ [/mm] und [mm] $x^3=u$?
[/mm]
> f(x)=0
>
> x+1=0 v x+1 =0 v -6 (x+1) =0
Das verwechselst du --denke ich-- mit
f(x)= (x+1)hoch3 * (x+1)hoch2 * -6 (x+1)
also dem Satz, dass ein Produkt genau dann gleich Null ist, wenn alle Faktoren gleich Null sind.
> x = -1 v x = -1 v x = 1/6
>
> Was ist falsch und wie mach eich es besser?
f(x) = (x+1)hoch3 + (x+1)hoch2 -6 (x+1)
Hier mußt du ein "Muster" erkennen, oder ein "Baukastenprinzip": In der Funktionsgleichung wird etwas hoch drei genommen, dazu dann das etwas "hoch 2" addiert und das 6-fache des etwas subtrahiert. Die Gleichung hat also die Form:
z³ + z² -6z
Das etwas ist x+1, das ist also deine Substitution z=x+1.
Versuch's doch noch mal mit dieser Substitution. Übrigens kann man die Gleichung ganz leicht auf eine quadratische Gleichung zurückführen, durch Ausklammern von etwas.
> Lösung muss sein: -4, -1, 1
Bis später,
Marc.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Sa 06.03.2004 | | Autor: | Murmel87 |
Ich stehe auf der Leitung, als Ergebnis der p-q formel habe ich 2 und -3. wie Rücksubstituiere ich das jetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Sa 06.03.2004 | | Autor: | Josef |
z = (x+1) für z = 1 bzw. -3 einsetzen
[mm]z_1[/mm] = 2
2 = x+1
1 = x
[mm]z_2 [/mm]= -3
-3 = x+1
-4 = x
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Sa 06.03.2004 | | Autor: | Josef |
Ein Tippfehler! Richtig: für z = 2 bzw. -3 einsetzen.
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