Nullstellen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Primel |
| Aufgabe | Bestimme die Anzahl dere Nullstellen
[mm] f(z)=z^{5}+iz^{3}-4z+i, \{1<|z|<2\} [/mm] |
Hallo,
ich denke, dass ich bei dieser Aufgabe den Satz von Rouché anwenden muss, aber irgendwie bin ich trotzdem noch unsicher.
Hier mein Lösungansatz:
[mm] f(z)=z^{5}+iz^{3}
[/mm]
g(z)= [mm] z^{5}+iz^{3}-4z+i
[/mm]
dann gilt
[mm] |-4z+i|\le [/mm] 2 < [mm] |z^{3}||z^{2}+i|
[/mm]
für alle z mit |z|=1
Nach dem Satz von Rouché gibt es 2 Nullstellen mit 1<|z|
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 Fr 26.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme die Anzahl dere Nullstellen
> [mm]f(z)=z^{5}+iz^{3}-4z+i, \{1<|z|<2\}[/mm]
> Hallo,
> ich denke, dass ich bei dieser Aufgabe den Satz von Rouché
> anwenden muss, aber irgendwie bin ich trotzdem noch
> unsicher.
> Hier mein Lösungansatz:
> [mm]f(z)=z^{5}+iz^{3}[/mm]
> g(z)= [mm]z^{5}+iz^{3}-4z+i[/mm]
> dann gilt
> [mm]|-4z+i|\le[/mm] 2 < [mm]|z^{3}||z^{2}+i|[/mm]
> für alle z mit |z|=1
Das stimmt nicht für |z|=1: [mm]|-4z+i|\le[/mm] 2
Es stimmt nicht für z=1, z=-1, z= i, ...
FRED
> Nach dem Satz von Rouché gibt es 2 Nullstellen mit 1<|z|
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Primel |
Ja, irgendwie versteh ich das noch nicht ganz!
für |z|< 1 gilt
[mm] |iz^{3}+i|\le [/mm] 2 < [mm] |z^{5}-4z| [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Fr 26.06.2009 | | Autor: | fred97 |
>
> Ja, irgendwie versteh ich das noch nicht ganz!
>
> für |z|< 1 gilt
>
> [mm]|iz^{3}+i|\le[/mm] 2 < [mm]|z^{5}-4z|[/mm] ?
Wie kommst Du denn zu Deinen Ungleichungen (stochern im Nebel ?)
Die Ungleichung
[mm]|iz^{3}+i|\le[/mm] 2
ist für |z|<1 richtig.
Diese Ungl.
2 < [mm]|z^{5}-4z|[/mm]
aber nicht, die ist ja schon für z=0 falsch!
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Fr 26.06.2009 | | Autor: | prinzpi |
Also ich habe erst mal folgendes gemacht:
Zu erst habe ich betrachtet wie viele Nullstellen in der Kreisscheibe D1(0) also für [mm] \left| z \right|<1 [/mm] vorkommen.
Dazu wähle: f1 = [mm] z^5 [/mm] und f2= [mm] iz^3-4z [/mm] +i
Dann den Betrag betrachten:
[mm] \left|f(z)-f[/mm] 2[mm] \right [/mm] | = [mm] \left| z^5 \right| \le \left | z \right |^5 [/mm] = 1 < [mm] \left| f[/mm] 2 [mm] \right [/mm] | = [mm] \left | iz^3-4z+i \right| \le \left | z^3 \right |+4\left | z \right [/mm] | + 1 = 6 (für [mm] \left |z\right|=1)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] mit Satz von Rouché, dass f2 und f1+f2 = f(z) gleich viele Nullstellen haben, nämlich 3.
Für [mm] \{1<\left | z \right |<2 \} [/mm] muss man halt nun schauen, wie viele Nullstellen noch überbleiben und für "|z|=2" ( Kreisscheibe mit Radius 2 betrachten)...
grüße
diese Antwort ist natürlich an Primel gerichtet nicht an fred
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:16 Mo 29.06.2009 | | Autor: | Marec |
Hi,
also mich würde an dieser Stelle interessieren, wie du darauf kommst, das das Polynom vom grad 3, drei Nullstellen hat und zwar im Kreis mit 0<r<1.
Hast du das berechnet?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Mi 01.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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