Nullstellen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo....komm bei einem Beispiel nicht weiter:
Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung [mm] z^{4} [/mm] = -4 über [mm] \IC [/mm] und stellen Sie diese in der Form a+b i dar.
Ich weiß dass es laut dem Dundamentalsatz 4 Lösungen geben müss.
Diese Lösungen bekommt man aus Eindeutigkeitsüberlegungen für die vorkommenden Winkelfunktionen Sinus und Cosinus.
[mm] \wurzel[n]{z} [/mm] = ( [mm] \wurzel[n]{r} [/mm] | [mm] \gamma/n [/mm] + k* [mm] \bruch{360}{n}
[/mm]
Kann mir wer dass an dem Beispiel zeigen...hab nähmlich noch immer keine Ahnung wie ich das mache...Sprich hierfür gibt es sicher eine Methode die
dann für alle Beispiele dieser Art gelten muss...
mfg,
Hannes
|
|
| |
|
> Hallo....komm bei einem Beispiel nicht weiter:
> Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung [mm]z^{4}[/mm] = -4 über
> [mm]\IC[/mm] und stellen Sie diese in der Form a+b i dar.
Hallo,
so:
-4= |-4| (cos [mm] \pi [/mm] +i sin [mm] \pi).
[/mm]
Die Wurzeln haben dann die Gestalt [mm] |-4|^\bruch{1}{4}(cos \bruch{ \pi+2k \pi}{4}+i [/mm] sin [mm] \bruch{ \pi+2k \pi}{4}) [/mm] mit k=0,1,2,3.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo Reaper!
Du kannst auch fogenden Alternativweg gehen, der aber "etwas" rechenintensiver ist:
[mm] $z^4 [/mm] \ = \ (a + [mm] i*b)^4 [/mm] \ = \ [mm] a^4 [/mm] + 4a^3b*i - [mm] 6a^2b^2 [/mm] - [mm] 4ab^3*i [/mm] + [mm] b^4 [/mm] \ = \ [mm] \left(\red{a^4 - 6a^2b^2 + b^4}\right) [/mm] + [mm] i*\left(\blue{4a^3b-4ab^3}\right) [/mm] \ = \ [mm] \red{-4} [/mm] + [mm] i*\blue{0}$
[/mm]
Nun mußt Du folgendes Gleichungssystem lösen:
[mm] $\red{a^4 - 6a^2b^2 + b^4} [/mm] \ = \ [mm] \red{-4}$
[/mm]
[mm] $\blue{4a^3b-4ab^3} [/mm] \ = \ [mm] \blue{0}$
[/mm]
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Tipp: [mm] $4a^3b-4ab^3 [/mm] \ = \ [mm] 4ab*\left(a^2-b^2\right) [/mm] \ = \ 4ab*(a+b)*(a-b)$
Und nun entsprechende Fallunterscheidung!
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo...danke für die Lösung....ich bin auch auf dasselbe Ergebnis gekommen.....Hier mein Lösungsweg (nur zur Kontrolle obs eh passt):
Zuerst muss ich das Ganze in Polarkoordinaten umwandeln:
z = a + b*i
r = [mm] \wurzel{a^{2} + b^{2}}
[/mm]
-> r = 4
[mm] \gamma [/mm] = ArcTan b/a = 0
So und da ich jetzt weiß dass sich -4 im Koordniatenkreuz bei 180 Grad befindet weiß ich dass ich [mm] \pi [/mm] nehmen muss da ja [mm] \gamma [/mm] sowieso 0 ist.
meine Polarkoordinaten lauten also (4; [mm] \pi)
[/mm]
...Jetzt brauch ich nur mehr in die von mir im ersten Post genannte Formel einsetzen und es kommt das Richtige heraus (erspar ich mir jetzt)
..stimmt das so?
mfg,
Hannes
|
|
|
| |
|
Hallo Reaper,
> Hallo...danke für die Lösung....ich bin auch auf dasselbe
> Ergebnis gekommen.....Hier mein Lösungsweg (nur zur
> Kontrolle obs eh passt):
>
> Zuerst muss ich das Ganze in Polarkoordinaten umwandeln:
> z = a + b*i
> r = [mm]\wurzel{a^{2} + b^{2}}[/mm]
> -> r = 4
> [mm]\gamma[/mm] = ArcTan b/a = 0
> So und da ich jetzt weiß dass sich -4 im Koordniatenkreuz
> bei 180 Grad befindet weiß ich dass ich [mm]\pi[/mm] nehmen muss da
> ja [mm]\gamma[/mm] sowieso 0 ist.
> meine Polarkoordinaten lauten also (4; [mm]\pi)[/mm]
>
> ...Jetzt brauch ich nur mehr in die von mir im ersten Post
> genannte Formel einsetzen und es kommt das Richtige heraus
> (erspar ich mir jetzt)
> ..stimmt das so?
das stimmt so.
Gruß
MathePower
|
|
|
|
