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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Nullstellen des folgenden Polynoms. Geben Sie dabei die Nullstellen in der Form a+bi mit a,b [mm] \in \IR [/mm] an.
[mm] p(z)=z^4+3z^3+z+3 [/mm] |
Hallo Leute,
ich komme leider nicht weiter. Habe eine Nullstelle erraten z1=-1, aber wie mache ich nun weiter? Ich habe die Lösung (nicht den Lösungsweg) neben mir liegen. Die zweite Nullstelle die man erraten hätten können ist z2=-3. Aber was wenn ich das nicht sehe?Wie gehe ich da rechnerisch vor? Kann man mit dem Wurzelziehen was machen?
Gruß
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Hallo derahnungslose,
> Bestimmen Sie alle Nullstellen des folgenden Polynoms.
> Geben Sie dabei die Nullstellen in der Form a+bi mit a,b
> [mm]\in \IR[/mm] an.
> [mm]p(z)=z^4+3z^3+z+3[/mm]
> Hallo Leute,
>
> ich komme leider nicht weiter. Habe eine Nullstelle erraten
> z1=-1, aber wie mache ich nun weiter? Ich habe die Lösung
> (nicht den Lösungsweg) neben mir liegen. Die zweite
> Nullstelle die man erraten hätten können ist z2=-3. Aber
> was wenn ich das nicht sehe?Wie gehe ich da rechnerisch
> vor? Kann man mit dem Wurzelziehen was machen?
>
Versuche zunächst das Polynom als Produkt von zwei Faktoren
zu schreiben.
> Gruß
Gruss
MathePower
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dann sieht das so aus [mm] (z^3+2z^2-2z+3)(z+1) [/mm] und nun?ich könnte jetzt auch noch weiter machen und den term durch z+3 teilen, aber das hätte ich ja nicht gesehen. das weiß ich nur weil das in meiner lösung als nullstelle steht :/
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Hallo,
> ich könnte jetzt auch noch weiter machen und den term durch
> z+3 teilen, aber das hätte ich ja nicht gesehen. das weiß
> ich nur weil das in meiner lösung als nullstelle steht :/
nein: das sieht man sofort:
[mm]z^4+3z^3+z+3=(z+3)*z^3+z+3=(z+3)*(z^3+1)[/mm]
Scharf hinsehen lohnt sich fast immer. 
Gruß, Diophant
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> Hallo,
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> > ich könnte jetzt auch noch weiter machen und den term
> durch
> > z+3 teilen, aber das hätte ich ja nicht gesehen. das weiß
> > ich nur weil das in meiner lösung als nullstelle steht :/
>
> nein: das sieht man sofort:
>
> [mm]z^4+3z^3+z+3=(z+3)*z^3+z+3=(z+3)*(z^3+1)[/mm]
[mm] z^4+3z^3+z+3=(z+3)*z^3+z+3 [/mm] bis dahin komme ich mit, aber wie kommst du auf einmal auf [mm] (z+3)*(z^3+1)??
[/mm]
> Scharf hinsehen lohnt sich fast immer.
>
> Gruß, Diophant
>
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Hallo,
> wie kommst du auf einmal auf [mm](z+3)*(z^3+1)??[/mm]
indem ich (z+3) ausgeklammert habe.
Gruß, Diophant
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jetzt habe ich ein produkt... das wird 0 wenn mind. ein faktor gleich null ist. also muss [mm] z^3=-1 [/mm] ergeben. d.h. ich muss wurzel ziehen, richtig? ist es die regel dass das nach dem schema "nullstelle erraten, ausklammern und dann wurzel ziehen" ab?
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Hallo derahnungslose,
> jetzt habe ich ein produkt... das wird 0 wenn mind. ein
> faktor gleich null ist. also muss [mm]z^3=-1[/mm] ergeben. d.h. ich
> muss wurzel ziehen, richtig? ist es die regel dass das nach
> dem schema "nullstelle erraten, ausklammern und dann wurzel
> ziehen" ab?
Hier errätst Du zuerst eine Nullstelle, dann machst Du eine Polynomdivision und ermittelst die weiteren Nullstellen.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:03 Mi 07.12.2011 | | Autor: | sandp |
noch ein kleiner Tipp zum Nullstellen raten, normalerweiße sind Nullstellen immer Teiler der Konstanten des Polynoms, bei deinem Fall
$ [mm] p(z)=z^4+3z^3+z+3 [/mm] $
ist die Konstante 3, also hast du die Teiler 1 und 3 und diese kannst du dann mit unterschiedlichen Vorzeichen einsetzen und schon findest du deine Nullstellen,
für die komplexen Nullstellen hast du ja dann nur noch ein Polynom vom Grad 2 und dafür gibt es ja Lösungsformeln
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