Nullstellen, Extrempunkte < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Untersuchen sie die Funktion f(x)=cos(x-1) im Intervall [mm] [0;2\pi(6,28)] [/mm] auf Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte. |
Ich weiß nicht, wie ich an diese Aufgabe heran gehen soll.
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Hallo schueler_sh!
> Untersuchen sie die Funktion f(x)=cos(x-1) im Intervall
> [mm][0;2\pi(6,28)][/mm] auf Nullstellen, Extrempunkte und
> Wendepunkte.
> Ich weiß nicht, wie ich an diese Aufgabe heran gehen soll.
So, wie an jede Aufgabe, in der man eine  Kurvendiskussion machen soll. Ableitungen berechnen, gleich Null setzen und so weiter und so fort.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Dafür überlege dir, für welchen Wert die Standardfunktion cos(x) 0 werden kann. Dies ist für [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] und [mm] \bruch{3\pi}{2} [/mm] der Fall. Diesen Wert muss auch das Argument x-1 erreichen.
Das bedeutet: Löse die GLeichung [mm] x-1=\bruch{\pi}{2} [/mm] und [mm] x-1=\bruch{3\pi}{2}
[/mm]
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[mm] x=\bruch{\pi}{2}+1 [/mm] =1,57 und [mm] x=\bruch{3\pi}{2}+1 [/mm] =5,71
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Wobei du bitte niemals die Dezimalzahlen bei trigonometrischen Funktionen benutzt. Die Lösung ist wunderbar mit [mm] x=\bruch{\pi}{2}+1=\bruch{\pi+2}{2}
[/mm]
Alles andere ist ungenau und ungeeignet als Lösung.
Rechne doch mal [mm] cos(\bruch{\pi}{2}+1-1) [/mm] du siehst sofort, die eins fällt raus, es bleibt [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] übrig und das ist 0.
Mach das jetzt mal mit deinen 5,71 :p ^^
jetzt kannst du mit extrema etc weitermachen
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Für die Extrempunkte benötigt man die erste Ableitung f'(x)=0
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Ja, aber wenn du die Aufgabe mit jeweils einem Satz beenden willst, brauchen wir Jahre....was soll ich jetzt dazu sagen, das steht ja in jedem Buch? Ja stimmt, und die zweite zur Überprüfung, also rechne doch mal :)
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Die erste Ableitung vom cos ist sin an der Stelle [mm] sin(\bruch{\pi}{2}) [/mm] ist ein Hochpunkt (+1) und [mm] sin(\bruch{3\pi}{2}) [/mm] ist ein Tiefpunkt (-1)
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Hallo
f(x)=cos(x-1)
f'(x)=-sin(x-1)
überprüfe jetzt deine Extremstellen, achte auch auf die Schreibweise, beachte auch, die Funktion f(x)=cos(x-1) ist im Vergleich zur Funktion f(x)=cos(x) um eine Einheit entlang der x-Achse nach rechts verschoben,
Steffi
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mit [mm] -sin(\bruch{\pi}{2}) [/mm] =-1 und [mm] -sin(\bruch{\pi}{2}) [/mm] =1
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Hallo, ohje, du schreibst für zwei identische Terme zwei verschiedene Ergebnisse, erst -1, dann 1,
zu lösen ist ja die Gleichung
-sin(x-1)=0
sin(x-1)=0
jetzt solltest du wissen,
(1.) sin(0)=0
(2.) [mm] sin(\pi)=0
[/mm]
(3.) [mm] sin(2\pi)=0
[/mm]
also bekommst du
(1.) x-1=0 also x= ....
(2.) [mm] x-1=\pi [/mm] also x= ....
(3.) [mm] x-1=2\pi [/mm] also x= ....
beachte dann das Intervall laut Aufgabenstellung,
Steffi
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Für den Wendepunkt braucht man die dritte Ableitung -cos(x-1), wie stellt man diese Formel um? probiere es schon eine zeitlang erfolglos.
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Hallo, du meinst offenbar die 2. Ableitung
f(x)=cos(x-1)
f'(x)=-sin(x-1)
f''(x)=-cos(x-1)
du berechnest also 0=-cos(x-1)
die Berechnung ist analog zu 0=-sin(x-1)
0=cos(x-1)
überlege dir, an welchen Stellen ist der cos gleich Null
.
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.
Steffi
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Wendepunkte:
[mm] \bruch{\pi}{2}+1 [/mm] =2,57 und [mm] \bruch{3\pi}{2}+1 [/mm] =5,17
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Di 17.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo schueler_sh!
> Wendepunkte:
> [mm]\bruch{\pi}{2}+1[/mm] =2,57 und [mm]\bruch{3\pi}{2}+1[/mm] =5,17
Die Zahlenwerte stimmen. Allerdings handelt es sich hier nicht um Wendepunkte, sondern bislang lediglich um mögliche Wendestellen(kandidaten).
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Di 17.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Untersuchen sie die Funktion f(x)=cos(x-1) im Intervall
> [mm][0;2\pi(6,28)][/mm] auf Nullstellen, Extrempunkte und
> Wendepunkte.
> Ich weiß nicht, wie ich an diese Aufgabe heran gehen soll.
Hallo,
wenn du die entsprechenden Eigenschaften der Grundfunktion y=cos x kennst, kannst du dir den ganzen Ableitungskram sparen.
JEDEN Funktionsgraphen y=f(x-1) erhält man, indem man den Graphen von y=f(x) um genau eine Einheit verschiebt (in welche Richtung solltest du selbst wissen).
Gruß Abakus
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