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| Aufgabe | | Exakte Nullstellen von [mm] x^3-x^2-2x+1. [/mm] |
Liebe Forengemeinde,
ich suche die exakten Nullstellen von diesem Polynom (und habe gerade keine Lust, diese zu Fuß mit Cardano zu berechnen  ). Die gerundeten Nullstellen sind [mm] x_1\approx1.801, x_2\approx0.445, x_3\approx-1.247
[/mm]
Es ist mir leider nicht gelungen, Wolframalpha dazu zu überreden, mir die reellen Nullstellen in einer vernünftigen Form exakt auszugeben. Weiß jemand ein Tool (idealerweise online), das mir hier den Rechenaufwand ersparen kann? Mir würden auch die exakten Nullstellen genügen.
(Hintergrund: Ich versuche gerade eine explizite Formel für die rekursive Folge [mm] f_{n}=f_{n-1}+2f_{n-2}-f_{n-3} [/mm] mit [mm] f_0=f_1=0, f_2=1 [/mm] zu finden.)
Schonmal vielen Dank!
LG
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> Exakte Nullstellen von [mm]x^3-x^2-2x+1.[/mm]
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> Liebe Forengemeinde,
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> ich suche die exakten Nullstellen von diesem Polynom (und
> habe gerade keine Lust, diese zu Fuß mit Cardano zu
> berechnen ). Die gerundeten Nullstellen sind
> [mm]x_1\approx1.801, x_2\approx0.445, x_3\approx-1.247[/mm]
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> Es ist mir leider nicht gelungen, Wolframalpha dazu zu
> überreden, mir die reellen Nullstellen in einer
> vernünftigen Form exakt auszugeben. Weiß jemand ein Tool
> (idealerweise online), das mir hier den Rechenaufwand
> ersparen kann? Mir würden auch die exakten Nullstellen
> genügen.
>
> (Hintergrund: Ich versuche gerade eine explizite Formel
> für die rekursive Folge [mm]f_{n}=f_{n-1}+2f_{n-2}-f_{n-3}[/mm] mit
> [mm]f_0=f_1=0, f_2=1[/mm] zu finden.)
>
> Schonmal vielen Dank!
>
> LG
Hallo kamaleonti,
wenn man diese Gleichung exakt lösen will, kommt man wohl kaum darum herum, einen algebraischen Weg zu gehen. Und dann sind wir zurück bei Cardano & Co.
Und das ist bei diesem Beispiel nicht so angenehm. Man sieht es am Ergebnis, das Mathematica liefert:
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG Al-Chw.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Mi 20.07.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo Al,
danke für deine Antwort. Ich hatte so eine komplizierte Darstellung leider befürchtet. Jetzt muss ich sehen, ob ich damit was anfangen kann. Es sieht ja nicht gerade danach aus, als ob es eine 'rein reelle' Darstellung für die Nullstellen gäbe - bitter, aber was will man machen.
LG
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> Hallo Al,
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> danke für deine Antwort. Ich hatte so eine komplizierte
> Darstellung leider befürchtet. Jetzt muss ich sehen, ob
> ich damit was anfangen kann. Es sieht ja nicht gerade
> danach aus, als ob es eine 'rein reelle' Darstellung für
> die Nullstellen gäbe - bitter, aber was will man machen.
>
> LG
Es fragt sich noch, ob du wirklich eine exakte Lösung
brauchst. Ist es nicht so, dass man die Folgenglieder
am Ende durch einen gewissen Term der 3 Lösungen
[mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] darstellen kann ?
Dann würde es doch vielleicht genügen, für die theo-
retische Darstellung diese [mm] x_i [/mm] in der Rechnung zu
behalten und erst für konkrete zahlenmäßige Berech-
nungen deren (genäherte) Zahlenwerte zu benützen.
Da klar ist, dass alle Folgenglieder ganzzahlig sein
müssen, kann man einen Ergebniswert wie z.B. 88.994
dann ruhig auf 89 runden.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Mi 20.07.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> Es fragt sich noch, ob du wirklich eine exakte Lösung brauchst.
Jo, ich probiere nun die exakten Lösungen zu umgehen. Wird schon klappen
Danke nochmal!
LG
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> > Es fragt sich noch, ob du wirklich eine exakte Lösung
> brauchst.
> Jo, ich probiere nun die exakten Lösungen zu umgehen. Wird
> schon klappen
> Danke nochmal!
>
> LG
Hab's ausprobiert, und es funktioniert ausgezeichnet.
Beispiel: f_40=4'101'088'878
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:59 Mi 20.07.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> Hab's ausprobiert, und es funktioniert ausgezeichnet.
> Beispiel: f_40=4'101'088'878
Bei mir auch:
[mm] f_{500}=17914222774049475403004402467936138764699284456248464387668082048871256821853862555191119220340042693419357617764641752787475813 [/mm]
LG
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> > Hab's ausprobiert, und es funktioniert ausgezeichnet.
> > Beispiel: f_40=4'101'088'878
> Bei mir auch:
>
> [mm]f_{500}=17914222774049475403004402467936138764699284456248464387668082048871256821853862555191119220340042693419357617764641752787475813[/mm]
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>
> LG
Mein Rechner ist leider nur halb so lang wie diese Zahl ...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 Mi 20.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Exakte Nullstellen von [mm]x^3-x^2-2x+1.[/mm]
>
> Liebe Forengemeinde,
>
> ich suche die exakten Nullstellen von diesem Polynom (und
> habe gerade keine Lust, diese zu Fuß mit Cardano zu
> berechnen ). Die gerundeten Nullstellen sind
> [mm]x_1\approx1.801, x_2\approx0.445, x_3\approx-1.247[/mm]
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> Es ist mir leider nicht gelungen, Wolframalpha dazu zu
> überreden, mir die reellen Nullstellen in einer
> vernünftigen Form exakt auszugeben. Weiß jemand ein Tool
> (idealerweise online), das mir hier den Rechenaufwand
> ersparen kann? Mir würden auch die exakten Nullstellen
> genügen.
Das Polynom ist irreduzibel, und wenn du $K := [mm] \IQ[x]/(x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] -2 x + 1)$ setzt und mit [mm] $\alpha$ [/mm] die Restklasse von $x$ in $K$ bezeichnest, dann sind [mm] $\alpha$, $\alpha^2 [/mm] - [mm] \alpha [/mm] - 1$ und [mm] $-\alpha^2 [/mm] + 2$ die Nullstellen von $f$ in $K$.
Das hab ich herausgefunden, indem ich:
| 1: | R<x> := PolynomialRing(Rationals());
| | 2: | f := x^3 - x^2 - 2*x + 1;
| | 3: | SplittingField(f); |
![[]](/images/popup.gif) hier eingegeben habe.
> (Hintergrund: Ich versuche gerade eine explizite Formel
> für die rekursive Folge [mm]f_{n}=f_{n-1}+2f_{n-2}-f_{n-3}[/mm] mit
> [mm]f_0=f_1=0, f_2=1[/mm] zu finden.)
Die Loesungen lassen sich ja als [mm] $\beta_1 \cdot \alpha_1^n [/mm] + [mm] \beta_2 \cdot \alpha_2^n [/mm] + [mm] \beta_3 \cdot \alpha_3^n$ [/mm] schreiben, womit [mm] $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ [/mm] die Nullstellen sind und [mm] $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ [/mm] die Koeffizienten.
Die Berechnungen kannst du jetzt etwa in [mm] $\IQ[x]/(x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] - 2 x + 1)$ exakt durchfuehren, ohne dich mit irrationalen Zahlen herumschlagen zu muessen. Das Ergebnis ist dann (je nach Wahl von [mm] $\beta_1, \beta_2, \beta_3$, [/mm] also falls diese von rationalen Startwerten der Rekurrenzgleichung stammen) einfach ein Element aus [mm] $\IQ$, [/mm] bzw. (fall es sich um ganzzahlige Startwerte handelt) um Elemente aus [mm] $\IZ$.
[/mm]
LG Felix
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Hallo Felix,
danke - eine interessante Herangehensweise. :)
> > [mm]x_1\approx1.801, x_2\approx0.445, x_3\approx-1.247[/mm]
> Das Polynom ist irreduzibel, und wenn du [mm]K := \IQ[x]/(x^3 - x^2 -2 x + 1)[/mm]
> setzt und mit [mm]\alpha[/mm] die Restklasse von [mm]x[/mm] in [mm]K[/mm] bezeichnest,
> dann sind [mm]\alpha[/mm], [mm]\alpha^2 - \alpha - 1[/mm] und [mm]-\alpha^2 + 2[/mm] die Nullstellen von [mm]f[/mm] in [mm]K[/mm].
> Die Loesungen lassen sich ja als [mm]\beta_1 \cdot \alpha_1^n + \beta_2 \cdot \alpha_2^n + \beta_3 \cdot \alpha_3^n[/mm]
> schreiben, womit [mm]\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3[/mm] die
> Nullstellen sind und [mm]\beta_1, \beta_2, \beta_3[/mm] die
> Koeffizienten.
Dazu eine Frage:
Kann man auf irgendeine Art und Weise herausfinden, welche Nullstelle von [mm] x^3-x^2-2x+1 [/mm] in [mm] \IR [/mm] welcher Nullstelle in K entspricht? Oder lässt sich dies nicht direkt in Beziehung bringen, weil die Körper zu 'unterschiedlich' sind?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Mi 20.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> danke - eine interessante Herangehensweise. :)
die rein algebraische sozusagen
> > > [mm]x_1\approx1.801, x_2\approx0.445, x_3\approx-1.247[/mm]
>
> > Das Polynom ist irreduzibel, und wenn du [mm]K := \IQ[x]/(x^3 - x^2 -2 x + 1)[/mm]
> > setzt und mit [mm]\alpha[/mm] die Restklasse von [mm]x[/mm] in [mm]K[/mm] bezeichnest,
> > dann sind [mm]\alpha[/mm], [mm]\alpha^2 - \alpha - 1[/mm] und [mm]-\alpha^2 + 2[/mm]
> die Nullstellen von [mm]f[/mm] in [mm]K[/mm].
>
> > Die Loesungen lassen sich ja als [mm]\beta_1 \cdot \alpha_1^n + \beta_2 \cdot \alpha_2^n + \beta_3 \cdot \alpha_3^n[/mm]
> > schreiben, womit [mm]\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3[/mm] die
> > Nullstellen sind und [mm]\beta_1, \beta_2, \beta_3[/mm] die
> > Koeffizienten.
>
> Dazu eine Frage:
> Kann man auf irgendeine Art und Weise herausfinden, welche
> Nullstelle von [mm]x^3-x^2-2x+1[/mm] in [mm]\IR[/mm] welcher Nullstelle in K
> entspricht? Oder lässt sich dies nicht direkt in Beziehung
> bringen, weil die Körper zu 'unterschiedlich' sind?
Nun, die Restklasse [mm] $\alpha$ [/mm] von $x$ in $K = [mm] \IQ[x]/(x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] - 2 x + 1)$ kann jeder Nullstelle von [mm] $x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] - 2 x + 1$ in [mm] $\IR$ [/mm] (bzw. [mm] $\IC$) [/mm] entsprechen: fuer jede Nullstelle [mm] $\beta$ [/mm] von [mm] $x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] - 2 x + 1$ in [mm] $\IC$ [/mm] ist die Abbildung $K [mm] \to \IQ[\beta]$, [/mm] $a [mm] \alpha^2 [/mm] + b [mm] \alpha [/mm] + c [mm] \mapsto [/mm] a [mm] \beta^2 [/mm] + b [mm] \beta [/mm] + c$ ein Isomorphismus.
Allerdings braucht man diese direkte Beziehung eigentlich auch gar nicht, zumindest nicht wenn es um Rekurrenzgleichungen geht 
LG Felix
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