Nullstellen berechnen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion: f(x)=x-1+2sin(x) |
| Aufgabe 2 | | Bestimmen Sie die Extrempunkte der Funktion: f(x)=x-1+2sin(x) |
Hallo,
ich soll in ein paar Wochen einen kleinen Vortrag vor der Klasse halten und ein paar Aufgaben vor der Klasse erklären und lösen.
Ich konnte das Thema trigonometrische Funktion immer sehr gut, doch hier ist jetzt ein besonderer Fall.
Es gilt das Funktionsschema: f(x)=a*sin(bx)+mx+c
In der Aufgabe direkt lautet die Funktionsgleichung: f(x)=x-1+2sin(x)
im Intervall von [ 0 ; 7 ]
Gefragt sind Nullstellen und Extrempunkte.
Ich habe es schon geschafft die x-Stelle des 1. Hochpunktes zu berechnen.
f'(x)=2cos(x)+1
f ′ ( x ) = 0
2cos(x) = -1
cos ( x ) = − 0,5
x=arccos(-0,5)
x = 2,094
Das war einfach, da hier nach nur einem x-Wert gefragt ist.
Beim Nullstellen berechnen würde ja mein Ansatz folgendermaßen lauten:
f ( x ) = 0
x-1+2sin(x)=0
2sin(x)=-x+1
sin ( x ) = − ( x 2 ) + 0,5
sin(x) = −(x2) + 0,5
Jetzt habe ich jeweils ein x auf beiden Seiten der Gleichung. Und da bin ich ratlos wie ich weiter verfahren könnte.
Das hatten wir in der Schule mit solchen schrägverlaufenden trigonometrischen Funktionen auch noch nicht. Aber ich will den Lehrer nicht enttäuschen.
Ich hoffe ihr könnt helfen.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Nullstellen-einer-trigonometrischen-Gleichung
Gruß
Cappuccino90
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Hallo Al-Chwarizmi,
entschuldige bitte die Formatierungsfehler. Du hast zum Glück alles richtig gedeutet. Ich danke dir vielmals für deine Antwort.
Ich hätte noch 2 Anschlussfragen:
1. Wie bekomme ich den 2. Extrempunkt heraus.
2. Bei meinem 1. Extrempunkt schaut ja meine Gleichung am Ende so aus: cos(x)=-0,5
Ich soll die Lösung ungerundet angeben. Durch herumprobieren habe ich herausgefunden, dass x= (2*pi)/3 ist. Gibt es eine Möglichkeit auch rechnerisch darauf zu kommen?
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Hallo Cappuccino90,
> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> entschuldige bitte die Formatierungsfehler. Du hast zum
> Glück alles richtig gedeutet. Ich danke dir vielmals für
> deine Antwort.
>
> Ich hätte noch 2 Anschlussfragen:
>
> 1. Wie bekomme ich den 2. Extrempunkt heraus.
>
Der Cosinus ist im Intervall [mm]\left[\bruch{\pi}{2}.,[\bruch{3*\pi}{2}\right][/mm]
symmetrisch zu [mm]\pi[/mm]. So findet man dann auch den 2. Extrempunkt.
> 2. Bei meinem 1. Extrempunkt schaut ja meine Gleichung am
> Ende so aus: cos(x)=-0,5
> Ich soll die Lösung ungerundet angeben. Durch
> herumprobieren habe ich herausgefunden, dass x= (2*pi)/3
> ist. Gibt es eine Möglichkeit auch rechnerisch darauf zu
> kommen?
Solche Werte sind in der Regel in Formelsammlungen tabelliert.
Gruss
MathePower
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Hallo,
könntest du mir die Symmetrie von Cosinus näher erläutern? Und was das für mich heißt in Bezug zu der Aufgabe?
Das ist leider neu für mich das Thema.
Und ich nehme an, dass du mir sagen wolltest, dass es keine rechnerische Vorgehensweise gibt, und ich das ausschließlich in einer Formelsammlung rauslesen muss?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Sa 22.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. man sollte die sin und cos Werte für 0, [mm] \pi/6, \pi/4, 2*\pi/3 [/mm] auswendig wissen oder sich immer schell ein halbes gkeichschenkliges Dreieck §=° und 60° oder ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck (45°) denken oder Skizzieren jeweils Hypothenuse Länge 1.
zu 2. sowohl sin wie auch cos sind zu ihren Extremstellen symmetrisch. zeichne auf. jeder Wert vin cos der links vom Minimum , das bei [mm] \pi [/mm] liegt , taucht rechts davon wieder auf. genauer [mm] cos((\pi-a)=cos(\pi+a) [/mm] entsprechend [mm] sin(\pi/2-a)= sin(\pi/2+a)
[/mm]
du kannst das am Funktionsgraphen sehen , oder wenn du sin und cos am Einheitskreis kennst dort noch einfacher.
Habt ihr mal was von Newtonverfahren zur Bestimmung von Nullstellen gehört?
Gruß leduart
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Das mit dem Dreieck ist eine tolle Idee :)
Das eine normale Sinus oder Kosinus Welle symmetrisch ist wusste ich. Ich habe aber dennoch extreme Schwierigkeiten die Symmetrie bei einer schiefen Sinus oder Kosinus Welle anzuwenden. Bei meiner Aufgabe geht ja meine komplette Welle nach rechts oben anstatt gleichmäßig parallel zur x-Achse. Ich hab mir mit meinem Taschenrechner mehrere x-Werte der Hoch und Tiefpunkte ausgeben lassen. Und dann sind die x-Werte natürlich nicht mehr in so schönen gleichen Abständen immer :/
Ich hoffe du verstehst was ich meine. Kann man für solche speziellen Fälle auch deine genannten Regeln anwenden? Da muss es doch bestimmte andere aber ähnliche Regeln für geben.
Ich hoffe sehr, dass du mir das ganze noch verständlich beibringen kannst :)
Wobei ich da eher die Problematik in meinem Verständnis als in deinen Erklärungen sehe ^^
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> Das mit dem Dreieck ist eine tolle Idee :)
Ja, das gehört zur "Grundausrüstung" für trigono-
metrische Berechnungen, die man ohne Rechner
bewältigen kann. Für den 45°-Winkel betrachtet
man ein diagonal halbiertes Quadrat und für die
Winkel 30° und 60° ein halbiertes gleichseitiges
Dreieck, am besten mit der Hypotenuse 2. Dann
haben die Katheten die Längen 1 und [mm] \sqrt{3}.
[/mm]
> Das eine normale Sinus oder Kosinus Welle symmetrisch ist
> wusste ich. Ich habe aber dennoch extreme Schwierigkeiten
> die Symmetrie bei einer schiefen Sinus oder Kosinus Welle
> anzuwenden. Bei meiner Aufgabe geht ja meine komplette
> Welle nach rechts oben anstatt gleichmäßig parallel zur
> x-Achse. Ich hab mir mit meinem Taschenrechner mehrere
> x-Werte der Hoch und Tiefpunkte ausgeben lassen. Und dann
> sind die x-Werte natürlich nicht mehr in so schönen
> gleichen Abständen immer :/
Doch, die Periodizität in x-Richtung bleibt doch
erhalten. Die Entfernung zweier benachbarter
Maximalstellen bleibt 2 [mm] \pi [/mm] . Bei der Ermittlung der
Extremalstellen geht es ja hier nur um die Gleichung
$\ cos(x)\ =\ [mm] -\,\frac{1}{2}$ [/mm] . Da hat man es ja nur mit
der gewöhnlichen Cosinusfunktion zu tun.
Der Cosinuswert eines Winkels ist gleich dem x-Wert
des dem Winkel entsprechenden Punktes auf dem
Einheitskreis (Mittelpunkt (0,0), Radius 1) im Koordi-
natensystem. Sucht man also die Winkel, für welche
$\ cos(x)\ =\ [mm] -\,\frac{1}{2}$ [/mm] gilt, so sind dies alle
(unendlich vielen) Winkel, welche zu einem der beiden
Schnittpunkte des Kreises [mm] x^2+y^2=1 [/mm] mit der
Geraden x = - [mm] \frac{1}{2} [/mm] gehören. An einer einfachen
Skizze erkennt man, dass die den beiden Schnitt-
punkten entsprechenden Winkel (im Grundintervall von
0° bis 360°) 120° bzw. 240° sind. Im Bogenmaß ist
dies [mm] \frac{2\,\pi}{3} [/mm] bzw. [mm] \frac{4\,\pi}{3} [/mm] . Von diesen beiden Grundwerten aus
erhält man die übrigen, indem man jeweils ein
beliebiges ganzzahliges Vielfaches von 360° bzw. 2 [mm] \pi
[/mm]
addiert (oder auch subtrahiert).
LG , Al-Chwarizmi
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Boom !!! Ihr seid der pure Wahnsinn hier !! Ich liebe euch ! Das mit den Nullstellen werde ich mir am Rande jetzt nur noch angucken, da ich sehr viel Stress momentan habe und gucken muss, dass ich erstmal das wichtigste durch meinen Zeitplan geprügelt bekomme.
Vielen lieben Dank an alle die mir geholfen haben. Und einen besonderen Dank an Al :)
Kann geschlossen werden !
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:15 So 23.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Cappuccino90 und auch von mir ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Du sollst darüber einen Vortag halten, aber du hast uns nicht
gesagt was ihr zur Zeit im Unterricht macht. Was für einen
Taschenrechner dürft ihr verwenden? Programmiert ihr schon?
Wie schon erwähnt ist das Erhalten der Nullstellen deiner
vorgegeben Funktion
[mm] f:I:=[0;7]\to\IR [/mm] mit [mm] f(x):=x-1+2\sin(x)
[/mm]
analytisch nicht exakt möglich. Ich würde dir folgendes
für dein Vortag vorschlagen:
Es gilt:
$f(0)=-1<0$ und [mm] $f(\pi)=\pi-1>0$
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Es existiert ein [mm] $x\in(0,\pi)$ [/mm] mit $f(x)=0$.
Mach dir das klar. Das heißt nicht, dass es genau eine Lösung
gibt! Es dient nur als Motivation. Daraus folgt nur, dass
wir mindestens eine Nullstelle erhalten in [mm] $(0,\pi)\subset [/mm] I$.
Hier solltest du auch die Stetigkeit erwähnen!
Jetzt kommt es darauf an wie viel Zeit du hast. Je nachdem
schlage ich vor ein numerisches Verfahren zu motivieren und
vorzurechnen. Dann erhältst du numerisch eine approximierte
Lösung. Dazu empfehle ich dir das Bisektions- oder das
Newton-Verfahren. Du musst nur aufpassen mit dem Startwert.
Ansonsten hier noch ein Plot zur Funktion:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
DieAcht
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> [mm]f:I:=[0;7]\to\IR[/mm] mit [mm]f(x):=x-1+2\sin(x)[/mm]
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> Es gilt:
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> [mm]f(0)=-1<0[/mm] und [mm]f(\pi)=\pi-1>0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Es existiert ein [mm]x\in(0,\pi)[/mm] mit [mm]f(x)=0[/mm].
>
> Mach dir das klar. Das heißt nicht, dass es genau eine
> Lösung
> gibt! Es dient nur als Motivation. Daraus folgt nur, dass
> wir mindestens eine Nullstelle erhalten in [mm](0,\pi)\subset I[/mm].
Nur noch ein Hinweis: im Rahmen eines Vortrags wäre
es wichtig, dabei vor allem auf die dabei verwendete
Voraussetzung hinzuweisen (Stetigkeit der vorliegenden
Funktion) !
> Jetzt kommt es darauf an wie viel Zeit du hast. Je nachdem
> schlage ich vor ein numerisches Verfahren zu motivieren
> und
> vorzurechnen. Dann erhältst du numerisch eine
> approximierte
> Lösung. Dazu empfehle ich dir das Bisektions- oder das
> Newton-Verfahren. Du musst nur aufpassen mit dem
> Startwert.
> Alternativ kannst aber auch mit Argumentation zu einer
> Lö-
> sung kommen, aber das ist meiner Meinung nach (hier)
> unschön.
> Falls du das dennoch machen willst, dann betrachte
> zunächst
>
> [mm]f'(x)=0[/mm].
>
> Wie lautet die Lösungsmenge? Was fällt dir auf?
>
> Für welche [mm]x\in\IR[/mm] gilt folgendes:
>
> [mm]f'(x)>0[/mm].
>
> Was folgt daraus für die Funktion in diesem Intervall?
> Was
> folgt im Hinblick auf die Anzahl der Nullstellen?
> Betrachte
> auch mal das Grenzwertverhalten für [mm]x\to\pm\infty[/mm] bzw.
> [mm]x\to 0[/mm].
>
> Ansonsten hier noch ein Plot zur Funktion:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo DieAcht
Die Funktion, die du hier grafisch dargestellt hast,
scheint eine andere als die gegebene zu sein.
Die gegebene Funktion hat lokale Minima und Maxima,
die gezeichnete offenbar nicht.
Auch deine Ausführungen zur Anzahl der Nullstellen
mittels einer Monotoniebetrachtung werden damit
hinfällig.
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 So 23.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Al,
Danke für die Korrektur. Ich habe es überarbeitet. Die Stetig-
keit habe ich mit Absicht nicht eingeführt. Das war wohl ein
Fehler, den ich nach dem Aufstehen heute auch einsehe. Ich
hatte gelesen, dass er "Berufskolleg zur Fachhochschulreife"
macht, sodass ich der Meinung war, dass er das noch nicht
hatte. Ich denke, dass das trotzdem falsch war so etwas zu
verschweigen, da es sehr wichtig ist!
Wünsche Dir noch ein schönen Sonntag. 
Liebe Grüße
DieAcht
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![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
