Nullstellen berechnen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Fr 19.06.2009 | | Autor: | hausser |
| Aufgabe 1 | Bestimme zunächst durch Rechnung die Nullstelle der Funktion.
y=x²-10x+9 |
ich weiß nicht wie man die nullstelle errechnet. Mein Lehrer hat irgendwas mit den binomischen Formeln gesagt aber ich verstehe es einfach nicht. Könntet ihr mir bitte helfen?!
Ihr müsst nicht alle aufgaben rechnen nur 1-2, dass ich es verstehe.
Und muss man da oben eigentlich alle aufgaben reinschreiben???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo
> Bestimme zunächst durch Rechnung die Nullstelle der
> Funktion.
> y=x²-10x+9
> y=x²+6x+9
> y=1,5 x²+6x+9
> y=-2x²+6x-2,5
> ich weiß nicht wie man die nullstelle errechnet. Mein
> Lehrer hat irgendwas mit den binomischen Formeln gesagt
> aber ich verstehe es einfach nicht. Könntet ihr mir bitte
> helfen?!
> Ihr müsst nicht alle aufgaben rechnen nur 1-2, dass ich es
> verstehe.
> Und muss man da oben eigentlich alle aufgaben
> reinschreiben???
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Nun, zuerst einmal die Frage, was ist die Nullstelle einer Funktion? Das ist die Stelle, an welcher die Funktion die x-Achse schneidet und somit der y-Wert an dieser stelle = 0 ist.
Nehmen wir als Beispiel also deine Aufgabe 1.
y = [mm] x^{2} [/mm] - 10x + 9. Um die Nullstellen auszurechnen, musst du diese Gleichung = 0 setzen.
0 = [mm] x^{2} [/mm] - 10x + 9. Jetzt musst du noch herausfinden, was für ein x-Wert du an den Nullstellen hast. Hierfür hast du nun mehrere Möglichkeiten. Da dir gesagt wurde, du sollst die binomischen Formeln benutzen, so will ich dir die Rechnung an diesem Beispiel vorführen:
Du musst nun deine Gleichung folgendermassen umformen: [mm] x^{2} [/mm] - 10x + 9 = (x-1)(x-9). Jetzt hast du eine binomische Gleichung. Wenn du dies ausmultiplizierst, merkst du, dass es wieder die ursprüngliche Gleichung gibt.
Somit sieht die Gleichung für deine Nullstellen so aus: (x-1)(x-9) = 0.
Wann wird dieser Ausdruck = 0? Nur, wenn eine der beiden Klammern = 0 ist. Dies ist in diesem Beispiel der Fall für x = 1 oder x = 9.
Die Funktion hat ihre Nullstellen also bei diesen beiden x-Werten.
Ich hoffe, du kannst nun die restlichen Aufgaben lösen :)
Grüsse, Amaro
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Hallo Arcesius,
was du am Beispiel gezeigt hast, ist die Methode der
Faktorzerlegung und hat mit den "binomischen Formeln"
nicht direkt zu tun.
Dasselbe Beispiel mit der "binomischen Methode" oder
quadratischen Ergänzug gelöst ginge so:
Zu lösende Gleichung:
[mm] x^2-10x+9=0
[/mm]
Auf der linken Seite steht im Moment kein binomi-
scher Term der Form [mm] (x-.....)^2. [/mm] Deshalb subtrahieren wir
zunächst beidseitig die Konstante 9:
[mm] x^2-10x=-9
[/mm]
und lassen beidseitig Platz für eine geeignete Ergänzung:
$\ [mm] x^2-10x+.......=-9+.......$ [/mm]
Nun kann man sich leicht klar machen, dass die Zahl 25
eine geeignete Ergänzung darstellen würde, denn dann
hat man:
$\ [mm] x^2-10x\blue{\ +\ 25}=-9\blue{\ +\ 25}$
[/mm]
Dies ist vorteilhaft, denn nun steht links ein vollständiger
binomischer Term, nämlich [mm] (x-5)^2 [/mm] :
$\ [mm] (x-5)^2=-9\blue{\ +\ 25}$
[/mm]
und auch rechts kann man zusammenfassen:
$\ [mm] (x-5)^2=16$
[/mm]
Das passt sehr gut, denn 16 ist eine Quadratzahl. Sie
ist das Quadrat von 4 , aber auch von (-4). Deshalb
ergeben sich nun die beiden Möglichkeiten:
$\ x-5=4$ oder $\ x-5=-4$
Die erste dieser Gleichungen führt auf die erste Lösung
[mm] x_1=9 [/mm] und die zweite auf die zweite mögliche Lösung
[mm] x_2=1.
[/mm]
Zusammengefasst haben wir also das Ergebnis:
Die Gleichung
[mm] x^2-10x+9=0 [/mm]
hat die Lösungsmenge
[mm] \IL_x=\{\,9\ ,\,1\,\} [/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 Fr 19.06.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo.
Was meine Methode angeht, so hast du natürlich recht.
Ich habe angenommen, dass diese Methode in diesem Alter eher gelehrt wird, als eine andere.
Aber danke für die Korrektur.. Ich darf nicht nach meinen eigenen Annahmen etwas Erklären, ohne sicher zu sein, dass dies auch gefragt ist. :)
Grüsse, Amaro
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> Hallo.
>
> Was meine Methode angeht, so hast du natürlich recht.
> Ich habe angenommen, dass diese Methode in diesem Alter
> eher gelehrt wird, als eine andere.
> Aber danke für die Korrektur.. Ich darf nicht nach meinen
> eigenen Annahmen etwas Erklären, ohne sicher zu sein, dass
> dies auch gefragt ist. :)
>
> Grüsse, Amaro
Na, so genau wissen wir ohnehin nicht, welche
Grundlagen vorausgesetzt werden durften und
was erwartet wurde.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 Sa 20.06.2009 | | Autor: | informix |
Hallo Arcesius,
> Hallo
>
> > Bestimme zunächst durch Rechnung die Nullstelle der
> > Funktion.
> > y=x²-10x+9
> > y=x²+6x+9
> > y=1,5 x²+6x+9
> > y=-2x²+6x-2,5
> > ich weiß nicht wie man die nullstelle errechnet. Mein
> > Lehrer hat irgendwas mit den binomischen Formeln gesagt
> > aber ich verstehe es einfach nicht. Könntet ihr mir bitte
> > helfen?!
> > Ihr müsst nicht alle aufgaben rechnen nur 1-2, dass ich
> es
> > verstehe.
> > Und muss man da oben eigentlich alle aufgaben
> > reinschreiben???
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
> Nun, zuerst einmal die Frage, was ist die Nullstelle einer
> Funktion? Das ist die Stelle, an welcher die Funktion die
> x-Achse schneidet und somit der y-Wert an dieser stelle = 0
> ist.
> Nehmen wir als Beispiel also deine Aufgabe 1.
>
> y = [mm]x^{2}[/mm] - 10x + 9. Um die Nullstellen auszurechnen, musst
> du diese Gleichung = 0 setzen.
>
> 0 = [mm]x^{2}[/mm] - 10x + 9. Jetzt musst du noch herausfinden, was
> für ein x-Wert du an den Nullstellen hast. Hierfür hast du
> nun mehrere Möglichkeiten. Da dir gesagt wurde, du sollst
> die binomischen Formeln benutzen, so will ich dir die
> Rechnung an diesem Beispiel vorführen:
>
> Du musst nun deine Gleichung folgendermassen umformen:
> [mm]x^{2}[/mm] - 10x + 9 = (x-1)(x-9). Jetzt hast du eine binomische
> Gleichung. Wenn du dies ausmultiplizierst, merkst du, dass
> es wieder die ursprüngliche Gleichung gibt.
>
> Somit sieht die Gleichung für deine Nullstellen so aus:
> (x-1)(x-9) = 0.
>
> Wann wird dieser Ausdruck = 0? Nur, wenn eine der beiden
> Klammern = 0 ist. Dies ist in diesem Beispiel der Fall für
> x = 1 oder x = 9.
>
> Die Funktion hat ihre Nullstellen also bei diesen beiden
> x-Werten.
>
> Ich hoffe, du kannst nun die restlichen Aufgaben lösen :)
>
> Grüsse, Amaro
Was du hier (sehr schön und ausführlich) erklärst, fasst man (nur in der Schule ?) als Satz von  Vieta zusammen.
Solche Erklärungen findest du zuhauf in unserer MatheBank, manchmal in den SchulMatheFAQ oder auch in SchulMatheSätze.
Gruß informix
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