Nullstellen charakt. Polynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 Do 09.06.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo.....weiß nicht genau wie man die Nullstellen vom charakteristischen Polynom bestimmt.
Beispiel:
A= [mm] \pmat{ 5 & 4 & 2 \\ 4 & 5 & 2 \\ 2 & 2 & 2 }
[/mm]
Das [mm] c_{A} [/mm] ist: [mm] x^3 [/mm] - [mm] 12x^2 [/mm] + 21 x -1.Die Nullstellen also Eigenwerte sind
1 (mit algebraische Vielfachheit 2) und 10.
Die Frage ist jetzt wie man drauf kommt. Ich weiß dass man das charakteristische Polynom zu einer Form bringen dass nicht mehr [mm] x^3 [/mm] vorkommt Also vielleicht [mm] x*(x^2 [/mm] -12x+21) -10
Kann mir wer Schritt für Schritt zeigen wie ich von dem Polynom auf die Nullstellen komme ohne bitte die Cardanosche Formel (also nur für Gleichungen 2. Grades und nicht 3.Grades)
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Hallo Reaper,
da hat sich ein Fehler eingeschlichen, das charakteristische Polynom ist
p(x)= [mm]x^3[/mm] - [mm]12x^2[/mm] + 21 x -10.
bei Übungsaufgaben kann man ziemlich oft eine Nullstelle erraten...
Gute "Kandidaten" zum Probieren sind immer die Teiler der "Zahl ohne x dahinter".
In diesem Falle also die Teiler der 10, negative und positive.
Durch raten finde ich also heraus: 1 ist eine Nullstelle. Dann kann man p(x)
schreiben als p(x)=(x-1)q(x). q(x) findest Du, indem Du p(x) durch (x-1) dividierst.
[mm] p(x)=(x-1)(x^{2}-11x+10). [/mm] Die Nullstellen von [mm] (x^{2}-11x+10) [/mm] zu finden ist nun nicht mehr schwierig.
Ist Deine Frage beantwortet?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:04 Do 09.06.2005 | | Autor: | Luba2406 |
Hallo,
bist du dir sicher, dass 1 eine Nullstelle von dem Polynom ist?
Denn es ist [mm] 1-12+21-1\not=0.
[/mm]
Ob das char. Polynom stimmt, weiß ich nicht.
Woher hast du die Nullstellen?
MfG
Luba
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Do 09.06.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo das charakteristische Polynom lautet richtigerweise: [mm] x^{3} [/mm] - 12 [mm] x^{2}
[/mm]
+21x-10....und dann stimmen die Nullstellen.
Allerdings.....gibt es hierfür keine einheitliche Rechenvorgehensweise?
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Hallo!
Tatsächlich gibt es einen Rechenweg, mit dem man die Nullstellen von Polynomen dritten Grades errechnen kann. Allerdings ist dieser Weg ziemlich aufwändig. Deshalb ist raten die bessere Alternativ, zumal man damit bei Übungsaufgaben - wie Angela ja schon bemerkt hat - meist ziemlich schnell zum Ziel kommt...
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 Do 09.06.2005 | | Autor: | Soldi01 |
wenn du ![[]](/images/popup.gif) hier drauf klickst gibt es eine kleine Liste (bis zur quartische Gleichung) wie man die Nullstellen finden kann..
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Do 09.06.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo.....Danke für die Antworten...is mir mitlerweile klar geworden.
Doch nun möchte ich mir auch die Eigenvektoren ausrechnen was bei 1 ganz gut klappt nur halt bei 10 nicht.
Die Matrix lautet übrigens A = [mm] \pmat{ 5 & 4 & 2 \\ 4 & 5 & 2 \\ 2 & 2 & 2 }
[/mm]
Bei Eigenwert bekomme ich das lineare Gls:
5x + 4y + 2z = 10x
4x + 5y + 2z = 10y
2x + 2y + 2z = 10z
Wenn ich das jetzt löse kommt mir für x,y,z 0 heraus, also der Nullvektor.
Aber im Skript steht halt (2,2,1)
Wie komme ich auf den Vektor?
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> Die Matrix lautet übrigens A = [mm]\pmat{ 5 & 4 & 2 \\ 4 & 5 & 2 \\ 2 & 2 & 2 }[/mm]
>
> Bei Eigenwert bekomme ich das lineare Gls:
> 5x + 4y + 2z = 10x
> 4x + 5y + 2z = 10y
> 2x + 2y + 2z = 10z
Also
-5x + 4y + 2z = 0
4x - 5y + 2z = 0
2x + 2y - 8z = 0
Die hierzu gehörige Matrix sei B.
> Wenn ich das jetzt löse kommt mir für x,y,z 0 heraus, also
> der Nullvektor.
Das ist aber nicht die einzige Lösung!
Das LGS kann auf folgende Form gebracht werden:
-5x + 4y + 2z = 0
- y + 2z = 0
Die Dimension des Lösungsraums ist n - rang(B), wobei n die Anzahl der Spalten ist, hier also 3 - 2 = 1.
Setze z = 1, dann folgt y = 2 und x = 2, der Lösungsraum ist also
L = <(2,2,1)> = {a (2,2,1); a reell}
> Aber im Skript steht halt (2,2,1)
Hui, stimmt tatsächlich!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Fr 10.06.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo...hab da ein Beispiel wo ich deine Antworten drauf getestet habe aber leider zu keinem Ergebnis gekommen bin...
Sei eine Matrix A = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
Eigenwert ist 1 mit dreifacher algebraischer Vielfachheit da
als charakteristisches Polynom [mm] x^{3} [/mm] - 1 herauskommt.
Wenn ich mir den Eigenraum von 1 ausrechne bekomme ich aber die Dimension 1 heraus, was dann nicht stimmen kann da die algebraische Vielfachheit der geometrischen sein muss.
Also um mir Dimension vom Eigenraum auszurechnen wende ich deine Methode an:
B = [mm] \pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 }...Das [/mm] ergibt den Rang 2
und 3 - 2 = 1 = dim ......irgendwo is da ein Fehler drin....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Fr 10.06.2005 | | Autor: | Ange |
Hallo...
Ich habe die vorhergehenden Beiträge nur überflogen. Hoffe aber, dass ich dir trotzdem helfen kann.
Also zu deinem Bsp. mit der Matrix A. Eigenwert ist 1, wie du bereits errechnet hast.
Den Eigenwert berechnest du doch sicherlich über das char. Polynom (det(x*E - A) mit E ist Einheitsmatrix).
Also:
[mm] \vmat{ x & 0 & -1 \\ -1 & x & 0 \\ 0 & -1 & x} [/mm]
Wenn du nun deinen Eigenwert x (hier: x=1) hast, dann setz ihn doch einfach in (x*E-A) ein. Dann ist dein B = [mm] \pmat{ -1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 }
[/mm]
Dann ist rg(B)=3=dim des Eigenraums zum Eigenwert 1.
Um den Eigenvektor auszurechnen, musst du einfach B = 0 setzen. Dann kommst du quasi wieder auf ein Lineares Glgs-system und kriegst anhand dessen deine(n) Eigenvektore(n). Hier: (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)
Ich hoffe ich konnte dir helfen..
Tut mir leid, wenn es ein wneig quatisch war.
LG,
Ange
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Fr 10.06.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo....jetzt kursieren 2 Theorien zur Dimensionen des Eigenraums herum:
Zum Einem Rang(B) = Dimension des Eigenraums
Zum Anderen n - Rang(B) = Dimension des Eigenraums
Was stimmt nun?
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Hallo,
> Hallo....jetzt kursieren 2 Theorien zur Dimensionen des
> Eigenraums herum:
> Zum Einem Rang(B) = Dimension des Eigenraums
> Zum Anderen n - Rang(B) = Dimension des Eigenraums
>
> Was stimmt nun?
die letztere Aussag stimmt.
Der Rang(B) gibt ja nur die Zahl der linear unabhänigen Spalten an.
Da die Matrix n Zeilen und n Spalten hat, bedeutet dies die Dimension von Kern (B) = n - Rang(B).
Gruß
MathePower
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> Dann ist rg(B)=3=dim des Eigenraums zum Eigenwert 1.
Hallihallo,
das kann nicht sein. Die Matrix hat ja zwei Eigenwerte. Da der von den Eigenvektoren zu 1 aufgespannte Raum nicht die Dimension 3 haben, also der ganze Raum sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Fr 10.06.2005 | | Autor: | Ange |
Hallo!
Ich verstehe nicht, welche Eigenwerte es noch geben kann?! Das char. Polynom ist [mm] (x^3)-1. [/mm] Dann ist (falls die Matrix reell sein soll) 1 die einzige Nullstelle. Oder sehe ich das falsch?
Und wenn die Matrix nur einen einzigen Eigenwert hat, so muss dessen Eigenraum ja der gesamte Raum (also hier R hoch 3) sein.
Tut mir leid, falls ich etwas falsches erzählt hab...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:54 Sa 11.06.2005 | | Autor: | Ange |
Hey Stefan!
Danke. Jetzt, wo du es sagst, fällt mir das auch auf. Die Matrix müsste ja drei paarweise verschiedenen Nullstellen haben, damit sie diagonalisierbar wäre. Da dies nicht der Fall ist, kann sie auch gar nicht diagonalisierbar sein...
Wieder was gelernt! :)
Danke für die Hilfe,
Gruß,
Ange
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