Nullstellen einer F. 3. Grades < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 Sa 16.12.2006 | | Autor: | max3000 |
| Aufgabe | | Zwei Personen A und B spielen das folgende Spiel: In der Gleichung [mm] x^{3}+ax^{2}+bx+c=0 [/mm] belegt zunächst A, danach B und schließlich wieder A je einen der Koeffizienten a, b, cmit einer reellen Zahl. Das Spiel ist genau dann für A gewonnen, wenn die so entstandene Gleichung drei paarweise verschiedene, reelle Lösungen hat. Untersuchen sie, ob A bei jeder Spielweise von B einen Gewinn erzielen kann. |
Hallo alle miteinander.
Ich dachte mal das wäre ne hübsche Aufgabe für dieses Forum. Ich bekomm es irgendwie nicht raus und ersuche hier etwas Hilfe.
Ich war jetzt schon so weit, dass ich festgestellt habe, dass die Gleichung immer eine Lösung [mm] x_{1} [/mm] hat. Dann habe ich das ganze durch Polynomdivision durch [mm] x-x_{1} [/mm] geteilt in der Hoffnung eine quadratische Gleichung zu erhalten, das war aber nicht der Fall.
Das Ergebnis ist das:
[mm] x^{2}+(a+x_{1})x+(a+x_{1})x_{1}+b+\bruch{((a+x_{1})x_{1}+b)+c}{x-x_{1}}=0
[/mm]
Das bringt mir aber gar nix. Es muss also einen anderen Weg geben. Ich habe mir erhofft irgendwie die 2. und 3. Nullstelle in Abhängigkeit von a, b und c zu erhalten, aber das geht so wahrscheinlich nicht - oder ich habe mich verrechnet.
Wäre echt nett wenn mir jemand eine Lösung (bzw. einen Ansatz) posten könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Grüße
Max
|
|
| |
|
> Zwei Personen A und B spielen das folgende Spiel: In der
> Gleichung [mm]x^{3}+ax^{2}+bx+c=0[/mm] belegt zunächst A, danach B
> und schließlich wieder A je einen der Koeffizienten a, b,
> cmit einer reellen Zahl. Das Spiel ist genau dann für A
> gewonnen, wenn die so entstandene Gleichung drei paarweise
> verschiedene, reelle Lösungen hat. Untersuchen sie, ob A
> bei jeder Spielweise von B einen Gewinn erzielen kann.
Hallo,
wenn [mm] x^{3}+ax^{2}+bx+c [/mm] drei reelle Nullstellen hat, gibt es A,B,C [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] x^{3}+ax^{2}+bx+c=(x-A)*(x-B)*(x-C)
[/mm]
Durch Ausrechnen der rechten Seite und Koeffizientenvergleich müßtest Du zum Ziel kommen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 12:11 Sa 16.12.2006 | | Autor: | max3000 |
Stimmt.
Vielen Dank, ich werde es sofort versuchen.
Grüße, Max
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 So 17.12.2006 | | Autor: | max3000 |
Ich glaub ich brauche doch noch einmal Hilfe. Ich habe das jetzt Stunden versucht und nix klappt.
Nach dem Koeffizientenvergleich komme ich auf die Gleichungen:
(1) a=-(A+B+C)
(2) b=AB+BC+CA
(3) c=ABC
Ich habe Damit angefangen, dass Spieler A c=0 setzt (damit das nicht nach oben oder unten verschoben wird). Dabei muss ja durch Gleichung 3 A, B, oder C=0 sein. Ich habe A=0 gesetzt, Gleichung 3 fliegt raus.
mit bisschen umstellen und einsetzen bin ich dann auf folgendes gekommen:
[mm] B,C=-\bruch{a}{2}\pm\wurzel{\bruch{a^{2}}{2}-b}
[/mm]
Setzt Spieler B in Schritt 2 b=0 ist ja dann C=A und es gibt damit nur 2 Nullstellen.
Mit c kann Spieler a also nicht anfangen.
Ich habs mit a=0 weiterprobiert aber scheitere hier schon am umstellen der Formeln (komme immer wieder auf die Ausgangsgleichung [mm] B^{3}+bB+c=0). [/mm] Kann mir vielleicht irgendjemand einen kleinen Tipp geben, wie ich weitermachen kann?
Wäre sehr nett von euch.
Grüße
Max
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 So 17.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie anders soll A als a=0 als erste Wahl? drum heisst er doch A! damit probier mal weiter!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:55 So 17.12.2006 | | Autor: | max3000 |
Der heißt aber nicht Spieler A, weil er Koeffizient a festlegt. Das kann er sich ja aussuchen.
Sorry, aber ich verstehe ansonsten deine Grammatik nicht so wirklich.
Trotzdem vielen Dank für deine Hilfe.
|
|
|
|
