Nullstellen in Abhängigkeit t < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Do 25.02.2010 | | Autor: | exec |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm]f_{t}(x)=-\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{t}{2}x-\bruch{t}{4} ; x,t\in\IR[/mm].
Für welche Werte von t schneidet die zugehörige Parabel [mm]K_{t}[/mm] die x-Achse in zwei (einem, keinem) Punkt(en)?
Quelle: Seite 285, ISBN 3-8120-0206-X |
Bilder:
http://www.siteupload.de/p1048596-ObererTeilSeite285ISBN381200206Xjpg.html
http://www.siteupload.de/p1048597-UntererTeilSeite285ISBN381200206Xjpg.html
Mein Lösungsweg wäre wie folgt (seh ähnlich):
Berechnung der Nullstellen in Abhängigkeit von t:
[mm] Bedingung:f_{t}(x)=0
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{t}{2}x-\bruch{t}{4}=0 [/mm] |*(-4)
[mm] 2x^{2}+2tx+t=0
[/mm]
[mm] D=b^{2}-4ac
[/mm]
[mm] D=(2t)^{2}-4*2*t
[/mm]
[mm] D=4t^{2}-8t
[/mm]
D=0
[mm] 4t^{2}-8t=0
[/mm]
4t(t-2)=0
[mm] t_{1}=0
[/mm]
[mm] t_{2}=2
[/mm]
-> Für t=0 oder t=2 hat [mm] K_{t} [/mm] einen SP mit der x-Achse.
Ab diesem Punkt bekomme ich Probleme:
1. Ich bin zwar durch ausprobieren auf die Lösungen: Für t>2 oder t<0 -> 2 SP und für t>0 und t<2 -> 0 SP gekommen, habe aber nicht verstanden wie man darauf kommt.
Besteht z.B. eine Regel für 2 SP t>größere t Zahl bei D=0 -> in dem Fall [mm] t_{2} [/mm] bzw. t<kleinere t Zahl bei D=0 -> [mm] t_{1} [/mm] oder muss ich das jedesmal ausprobieren?
2. Wie ist die Parabel-Zeichnung (die mit den vielen eingezeichneten D) zu verstehen? Soll das die Parabel P (y=4t²-8t) sein? Leider versteh ich die Zeichnung kein bisschen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
exec
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> Gegeben ist die Funktion
> [mm]f_{t}(x)=-\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{t}{2}x-\bruch{t}{4} ; x,t\in\IR[/mm].
>
> Für welche Werte von t schneidet die zugehörige Parabel
> [mm]K_{t}[/mm] die x-Achse in zwei (einem, keinem) Punkt(en)?
>
> Quelle: Seite 285, ISBN 3-8120-0206-X
> Bilder:
> http://www.siteupload.de/p1048596-ObererTeilSeite285ISBN381200206Xjpg.html
>
> http://www.siteupload.de/p1048597-UntererTeilSeite285ISBN381200206Xjpg.html
>
> Mein Lösungsweg wäre wie folgt (seh ähnlich):
>
> Berechnung der Nullstellen in Abhängigkeit von t:
> [mm]Bedingung:f_{t}(x)=0[/mm]
>
> [mm]-\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{t}{2}x-\bruch{t}{4}=0[/mm] |*(-4)
> [mm]2x^{2}+2tx+t=0[/mm]
>
> [mm]D=b^{2}-4ac[/mm]
> [mm]D=(2t)^{2}-4*2*t[/mm]
> [mm]D=4t^{2}-8t[/mm]
>
> D=0
>
> [mm]4t^{2}-8t=0[/mm]
> 4t(t-2)=0
>
> [mm]t_{1}=0[/mm]
> [mm]t_{2}=2[/mm]
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> -> Für t=0 oder t=2 hat [mm]K_{t}[/mm] einen SP mit der x-Achse.
>
> Ab diesem Punkt bekomme ich Probleme:
> 1. Ich bin zwar durch ausprobieren auf die Lösungen: Für
> t>2 oder t<0 -> 2 SP und für t>0 und t<2 -> 0 SP gekommen,
> habe aber nicht verstanden wie man darauf kommt.
> Besteht z.B. eine Regel für 2 SP t>größere t Zahl bei
> D=0 -> in dem Fall [mm]t_{2}[/mm] bzw. t<kleinere t Zahl bei D=0 ->
> [mm]t_{1}[/mm] oder muss ich das jedesmal ausprobieren?
>
> 2. Wie ist die Parabel-Zeichnung (die mit den vielen
> eingezeichneten D) zu verstehen? Soll das die Parabel P
> (y=4t²-8t) sein? Leider versteh ich die Zeichnung kein
> bisschen.
>
Diese beiden Fragen hängen eng zusammen. Also wir haben unsere Diskriminante [mm]D = 4t^2 - 8t[/mm]. Wir wissen, dass sie für t=0 und t=2 null wird, die Frage ist nun, wann ist sie größer oder kleiner null.
Nun ist [mm]D = 4t^2 - 8t[/mm] ja offensichtlich eine nach oben geöffnete Parabel und genau die ist wie du schon vermutest auf dem Bild skizziert. Und an dem Bild sieht man auch ganz gut die Lösung. Da die Nullstellen von D bei t=0 und t=2 liegen und die Parabel nach oben geöffnet ist, muss D zwischen diesen beiden Nullstellen kleiner als 0 sein (da ist die Parabel unterhalb der x-Achse) und "außerhalb" der Nullstellen größer als 0 sein (da ist ist die Parabel oberhalb der x-Achse). Die vielen D's sollen zeigen in welchen Intervallen die Diskriminante kleiner bzw. größer als null ist.
Deswegen musst du die Lösung nicht unbedingt ausprobieren. Wenn du die Nullstellen einer Parabel kennst und weißt ob sie nach oben oder unten geöffnet ist, dann weißt du auch wo sie kleiner oder größer null ist.
Ins unserem Fall ist also D für t < 0 positiv (= zwei SP), für t=0 ist sie null (= ein SP) für 0 < t < 2 ist sie negativ (= kein SP), für t=2 wieder null (= ein SP) und für t > 2 ist sie wieder positiv (= zwei SP).
Ich hoffe ich habs halbwegs verständlich rübergebracht. =)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Gruß
> exec
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Do 25.02.2010 | | Autor: | exec |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion
[mm] f_{t}(x)=-x^{2}+3tx+t [/mm] ; [mm] x,t\in\IR.
[/mm]
Für welche Werte von t schneidet die zugehörige Parabel [mm] K_{t} [/mm] die x-Achse in zwei (einem, keinem) Punkt(en)? |
Super, Danke!
Also versuch ichs mal zu erklären: (Achtung andere Aufgabe)
Berechnung der Nullstellen in Abhängigkeit von t:
[mm] Bedingung:f_{t}(x)=0
[/mm]
-x²+3tx+t=0
a=-1
b=3t
c=t
D=b²-4ac
D=(3t)²-4*(-1)*t
D=9t²+4t
Damit ist die Gleichung der Parabel P: y=9t²+4t
Schnittstellen von P mit der t-Achse:
Bedingung: y=0
9t²+4t=0
t(9t+4)=0
[mm] t_{1}=0
[/mm]
[mm] t_{2}=-\bruch{4}{9}
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn ich es richtig verstanden habe, ist D<0, wenn [mm] -\bruch{4}{9}
Lösungen:
Für t=0 oder [mm] t=-\bruch{4}{9} [/mm] -> 1 SP
Für t<0 und [mm] t>-\bruch{4}{9} [/mm] -> kein SP (stimmt der Operator "und" oder kann man das nur als [mm] -\bruch{4}{9}
Für t>0 oder [mm] t<-\bruch{4}{9} [/mm] -> 2 SP
Schonmal vielen Dank!!
Gruß
exec
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Gegeben ist die Funktion
> [mm]f_{t}(x)=-x^{2}+3tx+t[/mm] ; [mm]x,t\in\IR.[/mm]
> Für welche Werte von t schneidet die zugehörige Parabel
> [mm]K_{t}[/mm] die x-Achse in zwei (einem, keinem) Punkt(en)?
> Super, Danke!
>
> Also versuch ichs mal zu erklären: (Achtung andere
> Aufgabe)
>
> Berechnung der Nullstellen in Abhängigkeit von t:
> [mm]Bedingung:f_{t}(x)=0[/mm]
>
> -x²+3tx+t=0
> a=-1
> b=3t
> c=t
>
> D=b²-4ac
> D=(3t)²-4*(-1)*t
> D=9t²+4t
>
> Damit ist die Gleichung der Parabel P: y=9t²+4t
> Schnittstellen von P mit der t-Achse:
> Bedingung: y=0
> 9t²+4t=0
> t(9t+4)=0
> [mm]t_{1}=0[/mm]
> [mm]t_{2}=-\bruch{4}{9}[/mm]
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Wenn ich es richtig verstanden habe, ist D<0, wenn
> [mm]-\bruch{4}{9}
> bzw. x-Achse ist, richtig? -> Wenn die Parabel sozusagen
> unter der x-Achse ist, dann D<0, wenn die Parabel oberhalb
> der x-Achse ist, dann D>0, wenn die Parabel auf der x-Achse
> liegt, dann D=0)
Genauso ist es. Die Parabel ist ja gerade der Graph von D. Und wenn der Graph von D unterhalb der t-Achse (ja, es ist natürlich die t-Achse, nicht die x-Achse, sry^^) ist, dann ist D an diesen Stellen negativ.
> Lösungen:
> Für t=0 oder [mm]t=-\bruch{4}{9}[/mm] -> 1 SP
> Für t<0 und [mm]t>-\bruch{4}{9}[/mm] -> kein SP (stimmt der
> Operator "und" oder kann man das nur als [mm]-\bruch{4}{9}
> schreiben?)
Ich find [mm]-\bruch{4}{9}
> Für t>0 oder [mm]t<-\bruch{4}{9}[/mm] -> 2 SP
Jupp, sieht gut aus.
> Schonmal vielen Dank!!
>
> Gruß
> exec
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