Nullstellen ungerader Polynome < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 Sa 26.08.2006 | | Autor: | mkter |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist. Begründen Sie kurz Ihre Antwort.
(a) Ein Polynom 5. Grades hat mindestens eine reelle Nullstelle. |
In der o.g. Aufgabenstellung wird nach einem beliebigen Polynom 5. Grades gefragt. Hierbei ist nichts über die Art der Koeffizienten gesagt worden. Daher gehe ich erstmal von zwei Fällen für diese Polynome aus.
(1)Die Koeffizienten sind reell: Ja, die Aussage stimmt, da in diesem Fall komplexe Nullstellen immer in Paaren (z und [mm]\bar{z}[/mm]) auftreten. Bei einem ungeraden Polynom bleibt eine Nullstelle "über", die dann nur reell sein kann.
(2)Einige/Alle Koeffizeinten sind komplex: Hier komme ich dann schon ins Grübeln. Ich weiß nicht, ob es auch bei komplexen Koeffizienten gilt, dass die komplexen Nullstellen in Paaren auftreten. Ich stelle mir hier die Frage, ob es nicht auch möglich sein kann, dass die Zerteilung des Einheitskreises in der Gaußschen Zahlenebene um eine gewissen Winkel gedreht ist, sodass keine der komplexen Lösungen auf der Realteil-Achse liegt. (Mein Tutor hatte so etwas mal angemalt, aber nicht weiter erläutert.) Diese Drehung würde allerdings nur gehen, wenn die komplexen Lösungen nicht in Paaren auftreten.
Vll habe ich mich durch die Aufgabenstellung auch nur verwirren lassen und des Rätsels Lösung grinst mich bereits ganz breit an.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
thx für alle Antworten
mkter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Sa 26.08.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mkter,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Da ich nun den Kontext Deiner Aufgabe nicht kenne, denke ich mal, dass Du hier evtl. doch bei rein reellen Funktion bleiben kannst.
Und dann funktioniert der Nachweis über mindestens eine reelle Nullstelle über den Zwischenwertsatz sehr schnell, indem Du mal die Grenzwerte für [mm] $x\rightarrow+\infty$ [/mm] bzw. [mm] $x\rightarrow-\infty$ [/mm] betrachtest.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Sa 26.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> (2)Einige/Alle Koeffizeinten sind komplex: Hier komme ich
> dann schon ins Grübeln. Ich weiß nicht, ob es auch bei
> komplexen Koeffizienten gilt, dass die komplexen
> Nullstellen in Paaren auftreten.
Nein, das muessen sie nicht. Zum Beispiel das Polynom $x - i$ hat genau eine Nullstelle, und zwar in $i$.
> Ich stelle mir hier die
> Frage, ob es nicht auch möglich sein kann, dass die
> Zerteilung des Einheitskreises in der Gaußschen Zahlenebene
> um eine gewissen Winkel gedreht ist, sodass keine der
> komplexen Lösungen auf der Realteil-Achse liegt. (Mein
> Tutor hatte so etwas mal angemalt, aber nicht weiter
> erläutert.) Diese Drehung würde allerdings nur gehen, wenn
> die komplexen Lösungen nicht in Paaren auftreten.
Bei Polynomen mit komplexen Nullstellen koennen die Nullstellen voellig beliebig in der Zahlenebene verteilt sein! Zu gegebenen Elementen [mm] $a_1, \dots, a_n \in \IC$ [/mm] nimm doch einfach das Polynom $(x - [mm] a_1) \cdots [/mm] (x - [mm] a_n)$. [/mm] Die Koeffizienten liegen auch in [mm] $\IC$, [/mm] und der Leitkoeffizient ist sogar $1$.
LG Felix
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