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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Nullstellen von Polynomen
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Nullstellen von Polynomen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:52 Fr 03.01.2014
Autor: derriemann

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Polynome [mm] x^{3}+2x^{2}-x-1 [/mm] und [mm] x^{2}+x-3 [/mm] keine gemeinsame Nullstelle in [mm] \IC [/mm] besitzen, ohne Nullstellen auszurechnen.

Hallo liebe Leute, :-)

habe so überhaupt keinen Ansatz, wie man das durch bloßes "Sehen" herausfinden könnte. Würde mich über einen kleinen Tipp sehr freuen :-)

LG
        
Bezug
Nullstellen von Polynomen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:15 Fr 03.01.2014
Autor: reverend

Hallo derriemann,

eine Idee hätte ich für Dich. ;-)

> Zeigen Sie, dass die Polynome [mm]x^{3}+2x^{2}-x-1[/mm] und
> [mm]x^{2}+x-3[/mm] keine gemeinsame Nullstelle in [mm]\IC[/mm] besitzen, ohne
> Nullstellen auszurechnen.
>  
> habe so überhaupt keinen Ansatz, wie man das durch bloßes
> "Sehen" herausfinden könnte. Würde mich über einen
> kleinen Tipp sehr freuen :-)

Sehen wird nicht reichen. Dir ist sicher bekannt, dass Polynome über [mm] \IC [/mm] komplett in Linearfaktoren zerlegt werden können, wobei jeder Faktor eine Nullstelle "liefert".

Wenn diese beiden Polynome nun keine gemeinsame Nullstelle haben sollen, darf ihr [mm] \ggT [/mm] nicht von x abhängen.

Also: bemühe den euklidischen Algorithmus (hier mit Polynomdivision) und finde den größten gemeinsamen Teiler.

Grüße
reverend
Bezug
                
Bezug
Nullstellen von Polynomen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:29 Sa 04.01.2014
Autor: derriemann

Ok, dann habe ich mich mal auf die Aufgabe gestürzt :-)

  [mm] (x^{3}+2x^{2}-x-1):(x^{2}+x-3)=x+1+(x+2) [/mm]
[mm] \underline{-(x^{3}+x^{2}-3x)} [/mm]
     [mm] x^{2}+2x-1 [/mm]
   [mm] \underline{-(x^{2}+x-3)} [/mm]
         x+2


  [mm] (x^{2}+x-3):(x+2)=x-1+(-1) [/mm]
[mm] \underline{-(x^{2}+2x)} [/mm]
     -x-3
   [mm] \underline{-(-x-2)} [/mm]
       -1


  (x+2):(-1)=-x-2
[mm] \underline{-(-x)} [/mm]
     2
    [mm] \underline{-2} [/mm]
     0

Also [mm] ggT(x^{3}+2x^{2}-x-1,x^{2}+x-3)=-1 [/mm]

Da der ggT nicht von x abhängt, folgt die Nichtexistenz einer gemeinsamen Nullstelle in [mm] \IC [/mm]

Wäre das so i.O.? :-)
Bezug
                        
Bezug
Nullstellen von Polynomen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:46 Sa 04.01.2014
Autor: reverend

Hallo nochmal,

> Ok, dann habe ich mich mal auf die Aufgabe gestürzt :-)
>  
> [mm](x^{3}+2x^{2}-x-1):(x^{2}+x-3)=x+1+(x+2)[/mm]
>  [mm]\underline{-(x^{3}+x^{2}-3x)}[/mm]
>       [mm]x^{2}+2x-1[/mm]
>     [mm]\underline{-(x^{2}+x-3)}[/mm]
>           x+2
>  
>
> [mm](x^{2}+x-3):(x+2)=x-1+(-1)[/mm]
>  [mm]\underline{-(x^{2}+2x)}[/mm]
>       -x-3
>     [mm]\underline{-(-x-2)}[/mm]
>         -1
>  
>
> (x+2):(-1)=-x-2
>  [mm]\underline{-(-x)}[/mm]
>       2
>      [mm]\underline{-2}[/mm]
>       0
>  
> Also [mm]ggT(x^{3}+2x^{2}-x-1,x^{2}+x-3)=-1[/mm]
>  
> Da der ggT nicht von x abhängt, folgt die Nichtexistenz
> einer gemeinsamen Nullstelle in [mm]\IC[/mm]
>  
> Wäre das so i.O.? :-)

Ja, das sieht alles richtig aus. [daumenhoch]

Grüße
reverend
Bezug
        
Bezug
Nullstellen von Polynomen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:52 Fr 03.01.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Zeigen Sie, dass die Polynome [mm]x^{3}+2x^{2}-x-1[/mm] und
> [mm]x^{2}+x-3[/mm] keine gemeinsame Nullstelle in [mm]\IC[/mm] besitzen, ohne
> Nullstellen auszurechnen.
>  Hallo liebe Leute, :-)
>  
> habe so überhaupt keinen Ansatz, wie man das durch bloßes
> "Sehen" herausfinden könnte. Würde mich über einen
> kleinen Tipp sehr freuen :-)


Hallo derriemann,

auch mir ist ein Lösungsweg eingefallen - aber auch
nicht einfach durch Anschauen. Zwar habe ich zuerst
auch einmal einfach die Polynome angeschaut und
dann zu Stift und Papier gegriffen. Dabei nahm ich
einmal an, es gäbe eine gemeinsame Nullstelle x
für f und g. Bezeichnen wir die beiden Polynome
mit f und g, habe ich mir untereinander die Glei-
chungen f(x) = 0 und x*g(x) = 0  und dann die
Differenzgleichung

      d(x) = f(x) - x*g(x) = 0

notiert. Irgendwie drängte sich dies meinem
"Sehsinn" geradezu auf ...
Und dann war es fast zwangsläufig, auch noch
das Polynom p mit p(x) = x*d(x) zu notieren -
und dann wieder zu schauen ...     ;-)

LG ,   Al-Chwarizmi

Bezug
                
Bezug
Nullstellen von Polynomen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:34 Sa 04.01.2014
Autor: derriemann

Ist auf jeden Fall ein sehr interessanter Ansatz. Da werde ich mir nachher in Ruhe nochmal darüber Gedanken machen :-)

LG
Bezug
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