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| Aufgabe | Sei [mm] p:\IR \to \IR [/mm] ein Polynom
a) Seien [mm] x_1 [/mm] < [mm] x_2 [/mm] versch. Nullstellen von p.
Zeigen Sie, dass die Ableitung p' eine Nullstelle [mm] x_3 [/mm] mit [mm] x_1
b) Nehmen Sie an,p habe k Nullstellen. Zeigen Sie, dass p' mindestens k -1 Nullstellen hat.
c) Zeigen Sie mittels Induktion, dass ein von Null verschiedenes Polynom vom Grad n höchstens n verschiedene Nullstellen hat. |
Hallo,
also die a) und b) sind eigentlich klar
a)(skizze)
ich weiß [mm] x_1 [/mm] < [mm] x_2 [/mm] und [mm] p(x_1)=p(x_2)=0
[/mm]
ich weiß auch das p diffbar ist
also kann den Satz von Rolle (Ralle) anwenden
[mm] \Rightarrow [/mm] es gibt [mm] x_3 \in (x_1,x_2) [/mm] mit p'(x) =0
b) (skizze)
ich wähle als Nullstellen von p : [mm] {x_1,...,x_k}
[/mm]
da alle verschieden
O.E.: [mm] x_1
dann wende ich a) k-1 mal an
( also jeweils für [mm] x_i [/mm] und [mm] x_{i+1} [/mm] )
c) hier hab ich jetzt meine Probleme
Induktion nach n
IA: ist klar
IV: Für ein n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] p_n [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} a_i x^i
[/mm]
hat höchstens n Nullstellen.
IS: Hier weiß ich jetzt nicht genau was besser ist.
n [mm] \to [/mm] n-1 (ich müsste also zeigen, dass min eine Nullstelle wegfällt)
also hab versucht zu zeigen, dass eine Nullstelle wegfällt
[mm] p_{n-1} =\summe_{i=o}^{n-1} a_i x^i [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} a_i x^i -a_n x^n
[/mm]
[mm] \summe_{i=0}^{n} a_i x^i -a_n x^n [/mm] =0
[mm] \gdw \summe_{i=0}^{n} a_i x^i =a_n x^n [/mm] | [mm] :a_n
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{i=0}^{n} \bruch{a_i}{a_n} x^i [/mm] = [mm] x^n
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{i=0}^{n-1} \bruch{a_i}{a_n} x^i +x^n =x^n [/mm]
[mm] \gdw \summe_{i=0}^{n-1} \bruch{a_i}{a_n} x^i [/mm] =0
(hier weiß ich aber nicht weiter )
Ich habs auch mit [mm] n\to [/mm] n+1 versucht
dann müsste ich ja zeigen, dass maximal eine Nullstelle hinzukommt. (komme dann aber auch auf kein ergebnis)
oder kann ich mit der a) und b) arbeiten
also mein [mm] p_{n+1} [/mm] ableiten?
mfg
ConstantinJ
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Hallo,
a) und b) sehen IMO gut aus. Der fragliche Satz ist der Satz von Rolle.
Weshalb gehst du bei der c nicht einfach über die maximal mögliche Anzahl an Linearfaktoren?
Gruß, Diophant
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Wie kann ich das dann in eine Induktion packen ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Mi 11.07.2012 | | Autor: | SEcki |
> Wie kann ich das dann in eine Induktion packen ?
Am besten gar nicht.
Aber mal ein Tip: wenn ein Polynom zweiten Grades drei Nullstellen hätte, dann hätte die Ableitung (vom Grade 1) nach b mindestens 2 - Widerspruch.
(Das ist die _komplette_ und _vollständige_ Beweisidee!)
SEcki
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ok, stimmt, da hätte ich wirklich selbst drauf kommen könnnen.
Danke.
Also hier mal mein Lösungsversuch:
[mm] a_n \not=0, a_i \in\IR [/mm] , [mm] \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] {0,1,...,n}
IA:n=1
[mm] p_1=a_1 [/mm] x [mm] +a_0 [/mm] =0
[mm] \gdw a_1 [/mm] x [mm] =-a_0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x = [mm] \bruch{-a_0}{a_1} (\in \IR)
[/mm]
[mm] \Rightarrow p_1 [/mm] hat genau eine Nullstelle (stimmt)
I.V.: Für ein n [mm] \in \IN_0 [/mm] gilt: ein Polynom [mm] p_n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_k x^k [/mm] n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen
I.S.: n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] p_{n+1} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n+1} a_k x^k
[/mm]
Angenommen: [mm] p_{n+1} [/mm] hat n+2 Nullstellen.
[mm] p_{n+1}' [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n+1}ka_k x^{k-1}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{n} (k+1)a_{k+1} x^k
[/mm]
(Setze : [mm] (k+1)a_{k+1}=: b_k [/mm] )
= [mm] \summe_{k=0}^{n}b_k x^k
[/mm]
[mm] P_{n+1}' [/mm] ist ein Polynom n-ten Grades.
Durch die Annahme und b) gilt dann,
[mm] P_{n+1}' [/mm] hat mindestens (n+2)-1 =n+1 Nullstellen.
Widerspruch zur Induktionsvorrausetzung.
also: Behhauptung stimmt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:01 Do 12.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> ok, stimmt, da hätte ich wirklich selbst drauf kommen
> könnnen.
> Danke.
>
> Also hier mal mein Lösungsversuch:
> [mm]a_n \not=0, a_i \in\IR[/mm] , [mm]\forall[/mm] i [mm]\in[/mm] {0,1,...,n}
> IA:n=1
> [mm]p_1=a_1[/mm] x [mm]+a_0[/mm] =0
> [mm]\gdw a_1[/mm] x [mm]=-a_0[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] x = [mm]\bruch{-a_0}{a_1} (\in \IR)[/mm]
> [mm]\Rightarrow p_1[/mm] hat
> genau eine Nullstelle (stimmt)
> I.V.: Für ein n [mm]\in \IN_0[/mm] gilt: ein Polynom [mm]p_n[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{n} a_k x^k[/mm] n-ten Grades hat höchstens n
> Nullstellen
Die IV lautet so: für ein n [mm] \in \IN_0 [/mm] gilt: jedes Polynom vom Grad n hat höchstens n Nullstellen.
>
> I.S.: n [mm]\to[/mm] n+1
> [mm]p_{n+1}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n+1} a_k x^k[/mm]
> Angenommen: [mm]p_{n+1}[/mm]
> hat n+2 Nullstellen.
> [mm]p_{n+1}'[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n+1}ka_k x^{k-1}[/mm]
> =
> [mm]\summe_{k=0}^{n} (k+1)a_{k+1} x^k[/mm]
> (Setze : [mm](k+1)a_{k+1}=: b_k[/mm]
> )
> = [mm]\summe_{k=0}^{n}b_k x^k[/mm]
> [mm]P_{n+1}'[/mm] ist ein Polynom n-ten
> Grades.
> Durch die Annahme und b) gilt dann,
> [mm]P_{n+1}'[/mm] hat mindestens (n+2)-1 =n+1 Nullstellen.
> Widerspruch zur Induktionsvorrausetzung.
>
> also: Behhauptung stimmt.
Ja
FRED
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