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| Aufgabe | Eine Möglichkeit zur Bestimmung einer Nullstelle einer stetigen Funktion $f$ ist die folgende: Wir gehen davon aus, dass ein Intervall [mm] I_{0}=[a,b] [/mm] bekannt ist, mit [mm] f(a) \* f(b) < 0 [/mm]. Da $f$ stetig ist, existiert eine Nullstelle [mm] s \in I [/mm]. Sei nun [mm] x_{0}:=\bruch{1}{2}(a+b). [/mm] Man bestimmt nun [mm] f(x_{0}) [/mm] und entscheidet, für den Fall dass [mm] f(x_{0})\not=0, [/mm] anhand seines Vorzeichens, ob [mm] s \in [x_{0},b] [/mm] oder [mm] s \in [a,x_{0}] [/mm]. Dann setzt man das Verfahren mit dem entsprechenden Teilintervall [mm] I_{k}:=[x_{k},b] [/mm] bzw. [mm] I_{k}:=[a,x_{k}] [/mm] fort. Schätzen Sie den Fehler
[mm] |x^{(k)}-a| [/mm]
in Abhängigkeit von $k$ ab und begründen Sie Ihre Antwort. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Zusammen,
bei dieser Altklausuraufgabe habe ich leider keine Idee, was hier genau gefragt ist. Anhand der Bepunktung der Aufgabe lässt sich jedoch erkennen, dass wohl nicht vorgesehen war dass man viel Zeit in diese Aufgabe zu investieren hatte.
Das in der Aufgabe beschriebene Vorgehen ist mir soweit klar und einleuchtend. Und außerdem meine ich erkannt zu haben, dass der Fehler (also die Abweichung zwischen der im aktuellen Schritt angenäherten und der tatsächlichen Nullstelle, oder?) für höhere $k$ immer kleiner wird. Was mir jedoch schleierhaft ist, ist die Tatsache, dass man hier offenbar versuchen soll diese Abweichung mittels der nach dem $k.$ Schritt berechneten Nullstelle [mm] x^{(k)} [/mm] und der unteren Schranke $a$ des Intervalls $I$ auszudrücken. Stattdessen hätte ich intuitiv versucht den Fehler irgendwie (wie weiß ich leider nicht) mit [mm] x^{(k)} [/mm] und $s$ auszudrücken, und zwar so, dass der Wert für höhere $k$ immer kleiner wird.
Ich stelle mir das so vor, dass der maximale Fehler, also die maximale Abweichung zwischen [mm] x^{(k)} [/mm] und $s$ irgendwie mit [mm] \bruch{1}{2k} [/mm] zusammenhängt, weil das Intervall auf das die tatsächliche Nullstelle eingegrenzt wird, nach jedem Schritt halbiert wird, also quasi [mm] \bruch{b-a}{2}, \bruch{b-a}{4}, \bruch{b-a}{8}, [/mm] ..., [mm] \bruch{b-a}{2k}.
[/mm]
So, ich hoffe ich konnte meine Ideen und Probleme klar ausdrücken und freue mich schon auf hoffentlich die ein oder andere Antwort.
Vielen Dank im Vorraus für Eure Bemühungen und Anregungen.
Viele Grüße,
schneidross
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> Eine Möglichkeit zur Bestimmung einer Nullstelle einer
> stetigen Funktion [mm]f[/mm] ist die folgende: Wir gehen davon aus,
> dass ein Intervall [mm]I_{0}=[a,b][/mm] bekannt ist, mit [mm]f(a) \* f(b) < 0 [/mm].
> Da [mm]f[/mm] stetig ist, existiert eine Nullstelle [mm]s \in I [/mm]. Sei
> nun [mm]x_{0}:=\bruch{1}{2}(a+b).[/mm] Man bestimmt nun [mm]f(x_{0})[/mm] und
> entscheidet, für den Fall dass [mm]f(x_{0})\not=0,[/mm] anhand
> seines Vorzeichens, ob [mm]s \in [x_{0},b][/mm] oder [mm]s \in [a,x_{0}] [/mm].
> Dann setzt man das Verfahren mit dem entsprechenden
> Teilintervall [mm]I_{k}:=[x_{k},b][/mm] bzw. [mm]I_{k}:=[a,x_{k}][/mm] fort.
> Schätzen Sie den Fehler
> [mm]|x^{(k)}-a|[/mm]
> in Abhängigkeit von [mm]k[/mm] ab und begründen Sie Ihre Antwort.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo Zusammen,
>
> bei dieser Altklausuraufgabe habe ich leider keine Idee,
> was hier genau gefragt ist. Anhand der Bepunktung der
> Aufgabe lässt sich jedoch erkennen, dass wohl nicht
> vorgesehen war dass man viel Zeit in diese Aufgabe zu
> investieren hatte.
> Das in der Aufgabe beschriebene Vorgehen ist mir soweit
> klar und einleuchtend. Und außerdem meine ich erkannt zu
> haben, dass der Fehler (also die Abweichung zwischen der im
> aktuellen Schritt angenäherten und der tatsächlichen
> Nullstelle, oder?) für höhere [mm]k[/mm] immer kleiner wird. Was
> mir jedoch schleierhaft ist, ist die Tatsache, dass man
> hier offenbar versuchen soll diese Abweichung mittels der
> nach dem [mm]k.[/mm] Schritt berechneten Nullstelle [mm]x^{(k)}[/mm] und der
> unteren Schranke [mm]a[/mm] des Intervalls [mm]I[/mm] auszudrücken.
Das scheint mir ebenso schleierhaft !
Wenn man die Frage auf diese Weise ernst nimmt, kann
man ohne weitere Kenntnisse über die Funktion nämlich
nur sagen, dass die Abweichung kleiner als |b-a| ist.
> Stattdessen hätte ich intuitiv versucht den Fehler
> irgendwie (wie weiß ich leider nicht) mit [mm]x^{(k)}[/mm] und [mm]s[/mm]
> auszudrücken, und zwar so, dass der Wert für höhere [mm]k[/mm]
> immer kleiner wird.
> Ich stelle mir das so vor, dass der maximale Fehler, also
> die maximale Abweichung zwischen [mm]x^{(k)}[/mm] und [mm]s[/mm] irgendwie
> mit [mm]\bruch{1}{2k}[/mm] zusammenhängt, ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das sollte nicht [mm]\bruch{1}{2k}[/mm] , sondern [mm]\bruch{1}{2^k}[/mm] heißen.
> weil das Intervall auf
> das die tatsächliche Nullstelle eingegrenzt wird, nach
> jedem Schritt halbiert wird, also quasi [mm]\bruch{b-a}{2}, \bruch{b-a}{4}, \bruch{b-a}{8},[/mm]
> ..., [mm]\bruch{b-a}{2k}.[/mm]
Auch hier: [mm]\bruch{b-a}{2^k}[/mm]
Der Fehler in der Aufgabenstellung rührt vermutlich daher,
dass dabei an ein Nullstellensuchprogramm gedacht wurde,
in welchem bei jedem Schritt entweder a oder b neu defi-
niert wird. Um diesen Prozess richtig zu beschreiben, könnte
man nummerierte Grenzen verwenden, etwa so:
[mm] a_0:=a
[/mm]
[mm] b_0:=b
[/mm]
[mm] x_0:=(a_0+b_0)/2
[/mm]
Falls [mm] f(a_0)*f(x_0)<0 [/mm] dann [mm] a_1:=a_0 [/mm] , [mm] b_1:=x_0 [/mm] , andernfalls [mm] a_1:=x_0 [/mm] , [mm] b_1:=b_0
[/mm]
[mm] x_1:=(a_1+b_1)/2
[/mm]
etc.
LG Al-Chw.
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Hallo Al-Chwarizmi,
vielen Dank für deine Antwort. Ich versuche nun die Aufgabe unter Zuhilfenahme deiner Ausführungen aus meiner Sicht zu lösen:
Nebenbei bemerkt, handelte es sich bei $2$$k$ um einen kleinen Flüchtigkeitsfehler. Wie du richtig bemerkt hast muss es natürlich [mm] 2^{k} [/mm] lauten.
Wenn ich den Algorthmus der hier zu Grunde liegt also formalisieren wollte, dann müsste das also etwa so wie bei dir aussehen:
Initialisierung:
[mm] a^{(0)}:=a
[/mm]
[mm] b^{(0)}:=b
[/mm]
Und nun allgemein:
(*)
[mm] x^{(k)}:=\bruch{a^{(k)}+b^{(k)}}{2}
[/mm]
WENN [mm] f(x^{(k)}) [/mm] = 0
DANN [mm] s:=x^{(k)}, [/mm] FERTIG
SONST
WENN [mm] f(a^{(k)})\*f(x^{(k)})<0
[/mm]
DANN [mm] a^{(k+1)}:=a^{(k)}, b^{(k+1)}:=x^{(k)}
[/mm]
SONST
[mm] a^{(k+1)}:=x^{(k)}, b^{(k+1)}:=b^{(k)} [/mm] WEITER BEI (*)
Nach dieser Annahme müsste ich nun die Notation des Fehlers aus der Aufgabenstellung so umformulieren:
[mm] |x^{(k)}-a^{(k)}|, [/mm]
oder?
Wenn das stimmt käme ich nämlich auf die folgende Lösung der Aufgabe mit:
[mm] |x^{(k)}-a^{(k)}|=\bruch{b-a}{2^{k}} [/mm]
Was hältst du von meiner Ausführung? Kann man das so stehen lassen?
Viele Grüße,
schneidross
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Mo 21.03.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
ich nehm mal an, Du sollst auch
[mm] $|x_k [/mm] - s|$
schätzen. Sonst ergibt die Bezeichnung "Fehler" wenig Sinn.
Wir wissen, daß in [mm] $[a_k, b_k]$ [/mm] eine Nullstelle s ist.
(nach Konstruktion)
Also ist [mm] $|x_k-s|\leq \frac{b_k-a_k}{2}=\frac{b-a}{2^{k+1}}$
[/mm]
(Dein Exponent ist um 1 zu niedrig)
Für beliebiges k können wir ein f so konstruieren, daß der tatsächliche Fehler beliebig nah an dieser Abschätzung liegt, also ist sie optimal.
(s entsprechend nah bei a)
ciao
Stefan
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