Nullstellenberechnung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Di 29.03.2005 | | Autor: | Nuptse |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Aufgabe ist, die Funktion f(x) = x²-x-12 auf 0-Stellen und den Scheitel zu prüfen.
Ich weiss nur, dass 0-Stellen die Punkte sind, an denen die Parabel die x-Achse schneidet. Ich weiss auch, dass ich sie z.B. mit dem Satz von Vieta bestimmen kann, der sich jedoch nicht in meinem Mathematikbuch befindet.
Kann mir jemand bitte einfach(!) erklären, wie dieser Satz funktioniert? Beim Recherchieren bin ich nur auf komplizierte Beschreibungen mit p und q gestossen die ich nicht verstehe :(
Was der Scheitel einer Parabel ist, weiss ich ebenfalls nicht, ich habe nämlich fast das komplette letzte Halbjahr aufgrund von Krankheit versäumt.
Ich würde mich über Hilfe freuen.
:wink:
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Hallo,
der Satz von Vieta geht bei einer Parabel von dieser Schreibweise aus:
[mm]f(x)\; = \;\left( {x\; - \;x_{1} } \right)\;\left( {x\; - \;x_{2} } \right)[/mm]
wobei [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] Nullstellen der Parabel sind.
Ausgeschrieben ergibt das:
[mm]f(x)\; = \;\left( {x\; - \;x_{1} } \right)\;\left( {x\; - \;x_{2} } \right)\; = \;x^{2} \; - \;\left( {x_{1} \; + \;x_{2} } \right)\;x\; + \;x_1 \;x_2 [/mm]
Vergleichen wir nun diese Funktion mit
[mm]y(x)\; = \;x^{2} \; + \;b\;x\; + \;c[/mm]
Dann ergibt sich:
[mm]
\begin{gathered}
x_{1} \; + \;x_{2} \; = \; - b \hfill \\
x_{1} \;x_{2} \; = \;c \hfill \\
\end{gathered}[/mm]
Hier in dem speziellen Fall also:
[mm]
\begin{gathered}
x_{1} \; + \;x_{2} \; = \;1 \hfill \\
x_{1} \;x_{2} \; = \;12 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Alternativ kannst Du den Weg über quadratische Ergänzung gehen:
[mm]y(x)\; = \;x^{2} \; + \;b\;x\; + \;c\; = \;\left( {x\; + \;\frac{b}
{2}} \right)^{2} \; - \;\frac{{b^2 }}
{4}\; + \;c[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Di 29.03.2005 | | Autor: | Nuptse |
@ MathePower
Vielen Dank für deine Mühe.
Leider hast mir deine Lösung nicht besonders weitergeholfen, da ich sie, schlchtgesagt, nicht verstanden habe. Was ist in meiner Funktion f(x) = x²-x-12 x und xb und c oder was ist das überhaupt?!
Mathe ist wirklich nicht meine Stärke! :(
Deine Alternative mit der Quadratischen Ergänzung habe ich auch nicht Verstanden. Was ergänze ich womit und welchen Nutzen ziehe ich daraus?
Ich wäre für weitere Unterstützung dankbar.
*wink*
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Hallo,
> habe. Was ist in meiner Funktion f(x) = x²-x-12 x und xb
> und c oder was ist das überhaupt?!
[mm]f(x)\; = \;x^{2} \; - \;x\; - \;12\; = \;x^{2} \; + \;b\;x\; + \;c[/mm]
Hier ist b = -1 und c = -12.
> Deine Alternative mit der Quadratischen Ergänzung habe ich
> auch nicht Verstanden. Was ergänze ich womit und welchen
> Nutzen ziehe ich daraus?
Aus der Methode der quadratischen Ergänzung kannst Du sofort den Scheitel ablesen:
[mm]
\begin{gathered}
f(x)\; = \;x^{2} \; - \;x\; - \;12 \hfill \\
= \;x^{2} \; - \;x\; + \;\frac{1}
{4}\; - \;\frac{1}
{4}\; + \;12 \hfill \\
= \;\left( {x\; - \;\frac{1}
{2}} \right)^2 \; - \;\frac{1}
{4}\; - \;12 \hfill \\
= \;\left( {x\; - \;\frac{1}
{2}} \right)^2 \; - \;\frac{{49}}
{4} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Der Scheitel hier liegt bei (1/2 | -49/4).
Auch kannst Du hier sofort die Nullstellen ausrechnen.
Erklärung: Bei der quadratischen Ergänzung wird versucht die Funktion f(x) in eine möglichst einfache Form zu bringen. Diese einfache Form wird erreicht, wenn die Funktion f(x) in x- und y-Richtung geeignet verschoben wird. Bei der Berechnung wird der lineare Anteil betrachtet. Es handelt sich dann um eine Verschiebung der Normalparabel. Die Hälfte des linearen Anteils ist die Verschiebung in x-Richtung, während der konstante Anteil die Verschiebung in y-Richtung darstellt.
Gruß
MathePower
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Di 29.03.2005 | | Autor: | Nuptse |
Vielen Dank.
Dank der Erklärung habe ich es viel besser verstanden.
Ich denke ich sollte mich noch einmal vertieft mit dem Bereich Parabeln e.t.c beschäftigen :)
Danke für Deine Hilfe
Gruss Nuptse
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> Die Aufgabe ist, die Funktion f(x) = x²-x-12 auf 0-Stellen
> und den Scheitel zu prüfen.
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> Ich weiss nur, dass 0-Stellen die Punkte sind, an denen die
> Parabel die x-Achse schneidet. Ich weiss auch, dass ich sie
> z.B. mit dem Satz von Vieta bestimmen kann, der sich jedoch
> nicht in meinem Mathematikbuch befindet.
Hallo!
Zum Nullstellen bestimmen gibt es auch noch eine andere Variante, die Diskriminanten-Formel!
Vielleicht kannst du damit besser umgehen als mit Vieta!
Es geht folgerdermaßen:
Bei einer Funktion in folgender Schreibweise: [mm] f(x)=a*x^{2}+b*x+c [/mm] verwendet man die Formel: [mm] \bruch{1}{2*a}*\left(-b\pm\wurzel{b^{2}-4*a*c}\right)
[/mm]
Also wäre in deinem Fall a=1, b=-1 und c=-12.
Und dann musst du die Zahlen nur noch einsetzen und bekommst so deine beiden Nullstellen (Achtung bei den Vorzeichen; besonders unter der Wurzel! Am besten die 4*a*c extra einklammern!)!!!
So, viel Spaß beim rechnen! Gruß Jessi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:56 Di 29.03.2005 | | Autor: | Nuptse |
Vielen Dank für den Tipp :)
Ich mag diese Variante lieber als den Satz von Vieta.
Nur die Formel muss man wohl oder übel immer im Kopf dabei haben .
Gruss Nuptse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Di 29.03.2005 | | Autor: | Nuptse |
Die Nullstellen liegen bei -3 und 4! :D
Danke für Eure Hilfe!
Gruss Nuptse
PS: Hätte ich nicht einfach y=0 setzen können?
0=x²-x-12 und dann ausprobieren?
Gruss Nuptse
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> Die Nullstellen liegen bei -3 und 4! :D
Ja, super!
> Danke für Eure Hilfe!
>
> Gruss Nuptse
> PS: Hätte ich nicht einfach y=0 setzen können?
> 0=x²-x-12 und dann ausprobieren?
Ja schon, aber das mit dem ausprobieren ist bei manchen Aufgaben nicht so einfach. Dann müsste man doch wieder Vieta benutzen!
Vielleicht guckst du dir Vieta noch mal an mit Hilfe deiner ermittelten Nullstellen, dann wird das System vielleicht klarer!
Denn -3*4=-12 und -3+4=1
Gruß Jessi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Nuptse |
Hi Andi
Letztendlich hab ich es mit der Lösungsformel gelöst, da ich ein photografisches Gedächtnis habe und mir solche Formeln leichter merken kann.
Die Möglichkeit mit dem Ausprobieren wäre für mich eine Alternative zu Vieta, Quadratischer Ergänzung oder Formel gewesen aber wie mir bereits gesagt wurde ist das bestimmen der 0-Stellen bei anderen Funktionen schwerer :)
Ich hab die ganze Zeit natürlich y = 0 gesetzt so viel war mir auch schon klar aber ich wusste dann nicht, wie es ausser probieren weitergehen könnte. Ich werde mein Buch mal auf Testaufgaben hin prüfen!
Sollte ich keine finden melde ich mich noch einmal!
Gruss Nuptse
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Mich würde mal interessieren, wie du denn nun auf diese Ergebnis gekommen bist. Durch Vieta, quadratischer Ergänzung oder durch die Lösungsformel?
das ist jetzt aber witzig. Was hast du denn die ganze Zeit gemacht?
