Nullstellenbestimmung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Geben Sie fünf unabhängige Lösungen von [mm] y^{(5)}+y^{(4)}+y^{(3)}+y''+y'=0 [/mm] |
Hallo
Ich muss hier die Nullstellen des karakteristische Polynom bestimmen ich komm aber nicht wirklich weiter?
[mm] \lambda^{5}+\lambda^{4}+\lambda^{3}+\lambda^{2}+\lambda=0
[/mm]
[mm] \lambda*(\lambda^{4}+\lambda^{3}+\lambda^{2}+1)=0
[/mm]
[mm] \lambda_{1}=0 [/mm] jetzt muss ich die Nulstellen des restlichen Polynoms bestimmen aber wie
[mm] (\lambda^{4}+\lambda^{3}+\lambda^{2}+1)=0 [/mm] ich hab versucht eine Nullstelle zu erraten und dann Polynomsdivision durchführen aber das klappt nicht. Hab das Polynom von meinem Taschenrechner berechnen lassen da kommt ein ganz wilder Ausdruck raus.
z.B.: [mm] \lambda_{2}=\bruch{\wurzel{2*(\wurzel{5}-5)}-\wurzel{5}-1}{4}
[/mm]
da musses doch irgend einen Trick geben wie man diese Nulstellen bestimmt?
Danke
lg Stevo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Sa 26.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Stevo!
> Geben Sie fünf unabhängige Lösungen von
> [mm]y^{(5)}+y^{(4)}+y^{(3)}+y''+y'=0[/mm]
> Hallo
>
> Ich muss hier die Nullstellen des karakteristische Polynom
> bestimmen ich komm aber nicht wirklich weiter?
Ich denke, das es auch nach der neuen Rechtschreibung 'charakteristisch' heisst und nicht 'karakteristisch' :)
>
> [mm]\lambda^{5}+\lambda^{4}+\lambda^{3}+\lambda^{2}+\lambda=0[/mm]
> [mm]\lambda*(\lambda^{4}+\lambda^{3}+\lambda^{2}+1)=0[/mm]
Das stimmt nicht ganz: es ist [mm] $\lambda (\lambda^4 [/mm] + [mm] \lambda^3 [/mm] + [mm] \lambda^2 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] + 1)$ (das [mm] $\lambda$ [/mm] fehlte)!
> [mm]\lambda_{1}=0[/mm] jetzt muss ich die Nulstellen des restlichen
> Polynoms bestimmen aber wie
> [mm](\lambda^{4}+\lambda^{3}+\lambda^{2}+1)=0[/mm] ich hab versucht
> eine Nullstelle zu erraten und dann Polynomsdivision
> durchführen aber das klappt nicht. Hab das Polynom von
> meinem Taschenrechner berechnen lassen da kommt ein ganz
> wilder Ausdruck raus.
> z.B.:
> [mm]\lambda_{2}=\bruch{\wurzel{2*(\wurzel{5}-5)}-\wurzel{5}-1}{4}[/mm]
>
> da musses doch irgend einen Trick geben wie man diese
> Nulstellen bestimmt?
Indem man den wilden Ausdruck vereinfacht 
Mal etwas ernster: Es ist $(x - 1) [mm] (x^4 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + x + 1) = [mm] x^5 [/mm] - 1$. Die Nullstellen von [mm] $x^5 [/mm] - 1$ sind gerade die fuenften Einheitswurzeln, also [mm] $\exp\left( k \frac{2 \pi i}{5} \right)$ [/mm] mit $k = 0, [mm] \dots, [/mm] 4$. Also sind die Nullstellen von [mm] $x^4 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + 1$ gerade [mm] $\exp\left( k \frac{2 \pi i}{5} \right)$ [/mm] mit $k = 1, [mm] \dots, [/mm] 4$, da fuer $k = 0$ gerade $1$ herauskommt, und das die Nullstelle von $x - 1$ ist.
LG Felix
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