Nullstellenbestimmung Polynome < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Mo 18.02.2013 | | Autor: | Riedi |
| Aufgabe | | Finden Sie die Wurzeln von: [mm] $x^3-9x^2+23x-15 [/mm] (mod 143)$ |
Hallo Leute,
bräuchte mal bitte eure Hilfe. Die ersten drei Nullstellen sind relativ einfach zu finden. Denn durch einsetzten findet man eine Nullstelle bei [mm] $x_0=1$.
[/mm]
Weiter geht es mit Polynomdivision: [mm] $(x^3-9x^2+23x-15):(x-1)=x^2-8x+15$
[/mm]
Durch weiteres Ausprobieren findet man die nächste Nullstelle bei [mm] $x_1=3$.
[/mm]
Wieder Polynomdivision: [mm] $(x^2-8x+15):(x-3)=x-5$
[/mm]
Nun habe ich das Polynom also zerlegt in [mm] $x^3-9x^2+23x-15=(x-1)(x-3)(x-5)$ [/mm] und habe die drei Nullstellen [mm] $x_0=1, x_1=3, x_2=5$ [/mm] gefunden.
Da ich aber im Modul 143 bin, gibt es ja noch weitere Nullstellen. Ich habe herausgefunden, dass diese mit dem Chinesischen Restsatz bestimmt werden können.
Diesen habe ich auch schon öfters für Kongruenzsysteme benutzt, allerdings für solche der Form:
[mm] $x\equiv1 [/mm] (mod 3)$
[mm] $x\equiv4 [/mm] (mod5)$
[mm] $x\equiv6 [/mm] (mod 7)$
Wie mache ich das jetzt mit meinen Gleichungen?
[mm] $x^3+4x+8\equiv0 [/mm] (mod 11)$
[mm] $x^3+4x+8\equiv0 [/mm] (mod 13)$
So? Aber wie dann weiter? Ich hoffe ihr könnt mir einen kleinen Ansatz geben, damit ich die Aufgabe noch lösen kann.
Vielen Dank
Riedi
|
|
| |
|
Hallo Riedi,
mit der Faktorisierung hast Du den wesentlichen Schritt schon geschafft.
> Finden Sie die Wurzeln von: [mm]x^3-9x^2+23x-15 (mod 143)[/mm]
>
> Hallo Leute,
> bräuchte mal bitte eure Hilfe. Die ersten drei
> Nullstellen sind relativ einfach zu finden. Denn durch
> einsetzten findet man eine Nullstelle bei [mm]x_0=1[/mm].
>
> Weiter geht es mit Polynomdivision:
> [mm](x^3-9x^2+23x-15):(x-1)=x^2-8x+15[/mm]
>
> Durch weiteres Ausprobieren findet man die nächste
> Nullstelle bei [mm]x_1=3[/mm].
>
> Wieder Polynomdivision: [mm](x^2-8x+15):(x-3)=x-5[/mm]
>
> Nun habe ich das Polynom also zerlegt in
> [mm]x^3-9x^2+23x-15=(x-1)(x-3)(x-5)[/mm] und habe die drei
> Nullstellen [mm]x_0=1, x_1=3, x_2=5[/mm] gefunden.
>
> Da ich aber im Modul 143 bin, gibt es ja noch weitere
> Nullstellen. Ich habe herausgefunden, dass diese mit dem
> Chinesischen Restsatz bestimmt werden können.
> Diesen habe ich auch schon öfters für Kongruenzsysteme
> benutzt, allerdings für solche der Form:
>
> [mm]x\equiv1 (mod 3)[/mm]
> [mm]x\equiv4 (mod5)[/mm]
> [mm]x\equiv6 (mod 7)[/mm]
>
> Wie mache ich das jetzt mit meinen Gleichungen?
> [mm]x^3+4x+8\equiv0 (mod 11)[/mm]
> [mm]x^3+4x+8\equiv0 (mod 13)[/mm]
Was sind das denn für Gleichungen/Kongruenzen? Die haben doch mit Deinem Polynom nichts zu tun. Die erste wird z.B. von [mm] x\equiv 4\mod{11} [/mm] gelöst...
Das System, das zu betrachten ist, ist doch
[mm] (x-1)(x-3)(x-5)\equiv 0\mod{11}
[/mm]
[mm] (x-1)(x-3)(x-5)\equiv 0\mod{13}
[/mm]
Daraus ergeben sich neun Lösungen, z.B. aus [mm] x\equiv 3\mod{11} [/mm] und [mm] x\equiv 1\mod{13} \Rightarrow x\equiv 14\mod{143}
[/mm]
> So? Aber wie dann weiter? Ich hoffe ihr könnt mir einen
> kleinen Ansatz geben, damit ich die Aufgabe noch lösen
> kann.
Jetzt alles klar?
Grüße
reverend
|
|
|
|
